Z检验|T检验|样本标准差S代替总体标准差 σ

Z检验也叫做正态分布的标准正态分布变量检验。它通常用于大样本（样本容量大于30）且总体标准差已知的情况下，用于比较样本均值与总体均值之间的差异是否显著。

Z检验的基本思想都是计算样本均值与参考值或另一个样本均值之间的差异，然后将其标准化为标准正态分布的z分数，最后使用z分数计算p值来判断差异是否显著。

Z分数（也称为标准分数或标准化分数）是一个表示数据点在标准正态分布中的位置的分数。它告诉我们一个数据点与平均值的差异以标准差为单位的程度。

Z检验通常需要满足以下两个重要的前提条件：

样本容量较大：通常情况下，样本容量需要大于30，以确保中心极限定理成立，从而使样本均值的抽样分布近似正态分布。
已知总体标准差：Z检验要求我们已经知道总体的标准差。如果我们不知道总体标准差，就无法进行Z检验。在实际情况中，如果我们不知道总体标准差，可以考虑使用T检验。

这两个前提条件是为了保证Z检验的可靠性和准确性。如果样本容量较小或者总体标准差未知，t检验可能是一个更合适的选择，因为它对样本容量和总体标准差的要求更为宽松。

总的来说，根据实际情况和样本数据的特点，选择合适的统计检验方法非常重要。

当可以使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验时，通常涉及到以下情况：

总体标准差已知：
- 当您已经知道总体的标准差 σ 时，可以直接使用它进行Z检验。这种情况下，您不需要对总体参数进行估计。
样本容量大：
- 当样本容量足够大时，通常大于30，使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验是合理的。这是因为当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布会趋近于正态分布，根据中心极限定理，我们可以使用样本标准差来估计总体标准差。
总体是正态分布或样本容量足够大：
- 如果您知道总体是正态分布的，或者即使总体不是正态分布但样本容量足够大，通常可以使用样本标准差进行Z检验。这是因为根据中心极限定理，样本均值的抽样分布会接近正态分布，从而允许我们使用样本标准差来进行统计推断。

需要注意的是，在实际应用中，对于总体标准差是否已知以及样本容量的大小，需要根据具体情况进行合理的选择。如果存在不确定性，也可以进行敏感性分析来评估不同假设下的影响。

总的来说，使用样本标准差 s 代替总体标准差 σ 进行Z检验通常是在满足上述条件的前提下，可以进行的一种合理假设。

当总体标准差未知且样本容量较小（小于30）时，我们可以使用样本标准差 s 来代替总体标准差 σ 进行统计推断。这通常发生在 t 检验等假设检验中。

这种情况下，我们使用 t 分布而不是标准正态分布，因为样本标准差的估计会引入额外的不确定性。t 分布会在样本容量较小时提供更准确的结果。

所以，在这种情况下，我们可以通过计算 t 统计量来进行假设检验，然后根据 t 分布表或使用统计软件来获取相应的 p 值。这样我们可以进行统计推断，例如判断两个平均值之间是否存在显著差异。

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import numpy as np
import statsmodels.stats.weightstats as sm

# 一个样本数据，样本容量大于30
group1 = [85, 88, 84, 82, 91, 95, 89, 90, 84, 87, 86, 82, 88, 89, 90, 85, 83, 87, 91, 92, 86, 87, 88, 89, 82, 85, 86, 87, 88, 84, 90]

# 假设的总体均值
population_mean = 85

# 执行单样本 Z 检验
z_statistic, p_value = sm.ztest(group1, value=population_mean)

# 显示结果
print(f"Z 统计量: {z_statistic}")
print(f"P 值: {p_value}")

if p_value < 0.05:
    print("在95%的置信水平下，样本均值与假设的总体均值存在显著差异")
else:
    print("在95%的置信水平下，没有足够的证据表明样本均值与假设的总体均值存在显著差异")

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import numpy as np
import statsmodels.stats.weightstats as sm
# 样本数据
sample_data = [10, 12, 11, 9, 8, 10, 11, 12, 9, 10]

# 假设的总体均值
population_mean = 10

# 执行单样本 t 检验
t_statistic, p_value = sm.ttest_1samp(sample_data, population_mean)

# 显示结果
print(f"t 统计量: {t_statistic}")
print(f"P值: {p_value}")

if p_value < 0.05:
    print("在95%的置信水平下，样本均值与假设的总体均值存在显著差异")
else:
    print("在95%的置信水平下，没有足够的证据表明样本均值与假设的总体均值存在显著差异")