动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。
动态规划的解题步骤
状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。
对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？
因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
动态规划应该如何debug
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！
一些同学对于dp的学习是黑盒的状态，就是不清楚dp数组的含义，不懂为什么这么初始化，递推公式背下来了，遍历顺序靠习惯就是这么写的，然后一鼓作气写出代码，如果代码能通过万事大吉，通过不了的话就凭感觉改一改。
这是一个很不好的习惯！
做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。
然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。
这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。
这也是我为什么在动规五步曲里强调推导dp数组的重要性。
举个例子哈：在「代码随想录」刷题小分队微信群里，一些录友可能代码通过不了，会把代码抛到讨论群里问：我这里代码都已经和题解一模一样了，为什么通过不了呢？
发出这样的问题之前，其实可以自己先思考这三个问题：
- 这道题目我举例推导状态转移公式了么？
- 我打印dp数组的日志了么？
- 打印出来了dp数组和我想的一样么？
如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了，或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白，是状态转移不明白，还是实现代码不知道该怎么写，还是不理解遍历dp数组的顺序。
然后在问问题，目的性就很强了，群里的小伙伴也可以快速知道提问者的疑惑了。
注意这里不是说不让大家问问题哈， 而是说问问题之前要有自己的思考，问题要问到点子上！
509. 斐波那契数
斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
示例 1：
- 输入：2
- 输出：1
- 解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
示例 2：
- 输入：3
- 输出：2
- 解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
示例 3：
- 输入：4
- 输出：3
- 解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
提示：
-
0 <= n <= 30
动态规划
动规五部曲：
这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
text
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;1.确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
2.举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
以上我们用动规的方法分析完了，代码如下：
cpp
class Solution {
public int fib(int n) {
if(n<=1) return n;
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=0;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然可以发现，我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。
代码如下：
cpp
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
int a = 0, b = 1, c = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
c = a + b;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
70. 爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
示例 1：
- 输入： 2
- 输出： 2
- 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2：
- 输入： 3
- 输出： 3
- 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
我们来分析一下，动规五部曲：
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2.确定递推公式
dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
3.dp数组如何初始化
再回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。
本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！
我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。
所以我的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
4.确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
5.举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的
如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样。
此时大家应该发现了，这不就是斐波那契数列么！
唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义！
以上五部分析完之后，C++代码如下：
cpp
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n<=1) return n;
int[] dp=new int[n+1];
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++){
dp[i]=dp[i-2]+dp[i-1];
}
return dp[n];
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
当然依然也可以，优化一下空间复杂度，代码如下：
cpp
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n<=1) return n;
int a=1;
int b=2;
int sum=0;
for(int i=3;i<=n;i++){
sum=a+b;
a=b;
b=sum;
}
return b;
}
}- 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
- 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
746. 使用最小花费爬楼梯
数组的每个下标作为一个阶梯，第 i 个阶梯对应着一个非负数的体力花费值 cost[i]（下标从 0 开始）。
每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值，一旦支付了相应的体力值，你就可以选择向上爬一个阶梯或者爬两个阶梯。
请你找出达到楼层顶部的最低花费。在开始时，你可以选择从下标为 0 或 1 的元素作为初始阶梯。
示例 1：
- 输入：cost = [10, 15, 20]
- 输出：15
- 解释：最低花费是从 cost[1] 开始，然后走两步即可到阶梯顶，一共花费 15 。
示例 2：
- 输入：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]
- 输出：6
- 解释：最低花费方式是从 cost[0] 开始，逐个经过那些 1 ，跳过 cost[3] ，一共花费 6 。
提示：
- cost 的长度范围是 [2, 1000]。
- cost[i] 将会是一个整型数据，范围为 [0, 999] 。
思路
（在力扣修改了题目描述下，我又重新修改了题解）
修改之后的题意就比较明确了，题目中说 "你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯" 也就是相当于 跳到 下标 0 或者 下标 1 是不花费体力的， 从 下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。
1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2.确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3.dp数组如何初始化
新题目描述中明确说了 "你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。" 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
4.确定遍历顺序
因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
5.举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。
以上分析完毕，整体代码如下：
cpp
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int[] dp=new int[cost.length+1];
dp[0]=0;
dp[1]=0;
for(int i=2;i<=cost.length;i++){
dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
}
return dp[cost.length];
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：
cpp
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int dp0=0;
int dp1=0;
for(int i=2;i<=cost.length;i++){
int dpi=Math.min(dp1+cost[i-1],dp0+cost[i-2]);
dp0=dp1;
dp1=dpi;
}
return dp1;
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
当然如果在面试中，能写出版本一就行，除非面试官额外要求 空间复杂度，那么再去思考版本二，因为版本二还是有点绕。版本一才是正常思路。