【每日一题】ARC137B - Count 1’s | 思维 | 中等

题目内容

原题链接

给定一个长度为 n n n 的整数数组 a a a ， a i ∈ 0 , 1 a_i\in 0,1 ai∈0,1 。

对于一个子数组 a l , a l + 1 , ⋯   , a r a_l,a_{l+1},\cdots ,a_r al,al+1,⋯,ar ，一次修改操作意味着将 a i = 0 a_i=0 ai=0 修改为 a i = 1 a_i=1 ai=1 ，将 a i = 1 a_i=1 ai=1 修改为 a i = 0 a_i=0 ai=0 。

问修改至多一次（可以不修改），可以修改出多少种数组和不同的数组 a a a 。

数据范围

• 1 ≤ n ≤ 3 × 1 0 5 1\leq n\leq 3\times 10^5 1≤n≤3×105
• 0 ≤ a i ≤ 1 0\leq a_i\leq 1 0≤ai≤1

题解

暴力

枚举每个子数组，计算每个子数组翻转后可能有多少个不同的值。用 s e t set set 去重即可。

时间复杂度： O ( n 2 log ⁡ n ) O(n^2\log n) O(n2logn)

正解

这里我们考虑一个问题，翻转后的值有多少种情况，如果是全 0 0 0 ，则可以翻转成 1 1 1 个 1 1 1 ， 2 2 2 个 1 1 1 ， 3 3 3 个 1 1 1 一直到 n n n 个 1 1 1 ，那么就是 n n n 种情况。

对于我们能将值减少 k k k 的子数组 s u b sub sub ，必能在 s u b sub sub 中选出一个子数组，使得数组的总和减少 k − 1 k-1 k−1 ，以此类推，从减少 k k k 到减少 1 1 1 都可以做到。

问题转换为求可以减少最多的次数，这对应子数组中 1 1 1 的数量减去 0 0 0 的数量的最大值 u p up up。

我们还需要求可以增加最多的次数，这对应子数组中 0 0 0 的数量减去 1 1 1 的数量的最大值 d o w n down down。

最后，我们还可以选择不修改，即值不变。

所以答案为 u p + d o w n + 1 up+down+1 up+down+1 。

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];

    // 找到一个 1 减 0 数量最多的数组和 0 减 1 最多的数组
    vector<int> cnt(2, 0);

    auto gao = [&](bool is_reverse = false) {
        int res = 0;
        int cur = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            if (!is_reverse) {
                if (a[i] == 1) cur += 1;
                else cur -= 1;
            } else {
                if (a[i] == 1) cur -= 1;
                else cur += 1;
            }

            res = max(res, cur);
            if (cur < 0) cur = 0;
        }
        return res;
    };

    cout << gao() + gao(true) + 1 << "\n";

    return 0;
}