大家好！今天我们来学习数据结构中树和二叉树的概念及结构。

[1. 树概念及结构](#1. 树概念及结构)

[1.1 树的概念](#1.1 树的概念)

[1.2 树的相关概念](#1.2 树的相关概念)

[1.3 树的表示](#1.3 树的表示)

[1.4 树在实际中的运用](#1.4 树在实际中的运用)

[2. 二叉树的概念及结构](#2. 二叉树的概念及结构)

[2.1 概念](#2.1 概念)

[2.2 现实中的二叉树](#2.2 现实中的二叉树)

[2.3 特殊的二叉树](#2.3 特殊的二叉树)

[2.3.1 满二叉树](#2.3.1 满二叉树)

[2.3.2 完全二叉树](#2.3.2 完全二叉树)

[2.4 二叉树的性质](#2.4 二叉树的性质)

[2.5 二叉树的存储结构](#2.5 二叉树的存储结构)

[2.5.1 顺序存储](#2.5.1 顺序存储)

[2.5.1.1 完全二叉树的顺序存储](#2.5.1.1 完全二叉树的顺序存储)

[2.5.1.2 非完全二叉树的顺序存储](#2.5.1.2 非完全二叉树的顺序存储)

[2.5.2 链式存储](#2.5.2 链式存储)

[3. 总结](#3. 总结)

1. 树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性 的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树 ，也就是说它是根朝上 ，而叶朝下的。

（1）有一个特殊的结点 ，称为根结点 ，根结点没有前驱结点。

（2）除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

（3）因此，树是递归定义的。（一棵树可以拆成根和子树，子树又能拆成根和子树，直到拆到叶子。就是可以将"大问题"分解为"小问题"，"小问题"再分解成"更小的问题"，具有"大事化小"的特性）

关于子树：

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2 树的相关概念

和人类的亲缘关系类比

结点的度 ：一个结点含有的子树的个数 称为该结点的度 ；如上图：A的为6 （数这个结点的分支）
叶结点或终端结点 ：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I、P、Q、K、L、M、N结点为叶结点（最外面那一圈的所有结点）
非终端结点或分支结点 ：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点（有分支的结点）
双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点（根结点是没有父亲的）
孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
兄弟结点(亲兄弟) ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
树的度 ：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6
结点的层次 ：从根开始定义起，根为第1层 ，根的子结点为第2层 ，以此类推
树的高度或深度 ：树中结点的最大层次 ；如上图：树的高度为4
堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟 ；如上图：H、I互为堂兄弟结点；H、N互为堂兄弟结点（同一层不为亲兄弟的两个结点）
结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点 都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合 称为森林

关于结点的层次，有如下说明：

结点可以从第0层开始算，也可以从第1层开始算 ，推荐从第1层开始算。

我们看上图：

如果从第0层开始算（即最上面那层为第0层），空树（NULL）的深度为-1；一个结点的情况，树的深度就为0；如果有4个结点，树的深度就为3。

如果从第1层开始算（即最上面那层为第1层），空树（NULL）的深度为0；一个结点的情况，树的深度就为1；如果有4个结点，树的深度就为4。

我们可以看出，从第1层开始算，比较直观，也比较合理。因此推荐从第1层开始算。

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法（左孩子右兄弟）。

cpp 复制代码

typedef int DataType;
struct Node
{
    DataType _data;  //结点中的数据域
    struct Node* _firstChild1;  //第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother;  //指向其下一个兄弟结点
};

双亲表示法：

用结构数组，每个数组元素只存储双亲的下标，如果一个结点没有父亲（也就是根结点），就标记为-1。如上图森林的情况，A、B均为根结点，A、B就均标为-1。

1. 如何检查森林有几棵树？

看有几个-1，有几个-1就有几个根，有几个根就有几棵树。

2. 怎么判断两个结点在不在同一棵树？

找根，根相同就在同一棵树。

1.4 树在实际中的运用

文件系统就是一个树形结构

表示文件系统的目录树结构

2. 二叉树的概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根结点 加上两棵别称为左子树 和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点（即最多两个孩子，也可以是1个或0个孩子。 如果有两个孩子**，** 我们就把左边的孩子 叫左孩子 ， 右边的孩子 叫右孩子）
二叉树的子树有左右之分 ，次序不能颠倒 ，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2 现实中的二叉树

2.3 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^K-1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3.1 满二叉树

高度为h的满二叉树有2^(h-1)个结点

如果一棵满二叉树有N个结点，根据上面推出的结论，

我们可以知道这棵满二叉树的高度h为 log2 (N+1)

一棵满二叉树有n个结点，那么它的高度h为log2(N+1)

如果N是10亿（10亿有9个0，2^10=1024，所以10亿可以估计成(2^10)*(2^10)*(2^10)=2^30），根据h=log2(N+1)，所以可算出高度h约为30。

也就是说如果将我国14亿人口的信息存到满二叉树中，极限情况也只要31层就可以（2^30=10亿，2^31=2^30*2=10亿*2=20亿）。

二叉树每往下一层走，能存的信息量是非常巨大的！

2.3.2 完全二叉树

高度为h的完全二叉树的结点个数范围是[2^(h-1)，2^h-1]

最后一层从左到右必须连续，否则就不是完全二叉树，如下图就不是完全二叉树：

对于一棵完全二叉树而言，如果存在度为1的结点，那么这个结点只能有0个或者1个。

这是因为完全二叉树的定义是除了最后一层外，其他层的结点都是满的，并且最后一层的结点依次从左到右排列。在这样的排列中，度为1的结点只能出现在最后一层的末尾结点，其余的结点都应该有两个子结点。因此，除了最后一层的末尾结点，度为1的结点是不允许存在的。

2.4 二叉树的性质

若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的**第i层上最多有2^(i-1)**个结点。
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 ， 度为2的分支结点个数为n2 ，

则有n0 = n2 + 1

若规定根结点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度h=log2(n+1) 。 (注：log2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树性质练习题

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

解析：根据上面二叉树性质第3条"对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0， 度为2的分支结点个数为n2 ，则有n0 = n2 + 1"。

度为2的结点n2有199个，叶结点（度为0的结点）就有n0=n2+1=200个。故选B

下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（）

A 非完全二叉树

B 堆

C 队列

D 栈

解析：选A（可以看下面2.5.1.2 非完全二叉树的顺序存储）

在具有2n个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

解析：选A，具体分析过程如下图

一棵完全二叉树的结点数为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

解析：高度为h的完全二叉树的结点个数范围是[2^(h-1)，2^h-1]

当h=10时候，结点个数是[512，1023]，而531就在这个范围内。所以这棵树的高度为10，故选B

一个具有767个结点的完全二叉树，其叶子结点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

解析：选B，具体分析过程如下图

2.5 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构 ，一种链式结构。

2.5.1 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储 ，一般使用数组只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2.5.1.1 完全二叉树的顺序存储

2.5.1.2 非完全二叉树的顺序存储

2.5.2 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树 ，即用链来指示元素的逻辑关系 。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域 和左右指针域 ，左右指针分别用来给出该结点左孩子 和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链 和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

3. 总结

到这里，我们就用学习完了数据结构中树和二叉树的概念及结构。有什么问题欢迎在评论区讨论。如果觉得文章有什么不足之处，可以在评论区留言。如果喜欢我的文章，可以点赞收藏哦！

【数据结构】树和二叉树的概念及结构