机器学习练习-决策树
代码更新地址：https://github.com/fengdu78/WZU-machine-learning-course
代码修改并注释：黄海广，haiguang2000@wzu.edu.cn
1．分类决策树模型是表示基于特征对实例进行分类的树形结构。决策树可以转换成一个if-then规则的集合，也可以看作是定义在特征空间划分上的类的条件概率分布。
2．决策树学习旨在构建一个与训练数据拟合很好，并且复杂度小的决策树。因为从可能的决策树中直接选取最优决策树是NP完全问题。现实中采用启发式方法学习次优的决策树。
决策树学习算法包括3部分：特征选择、树的生成和树的剪枝。常用的算法有ID3、
C4.5和CART。
3．特征选择的目的在于选取对训练数据能够分类的特征。特征选择的关键是其准则。常用的准则如下：
（1）样本集合 D D D对特征 A A A的信息增益（ID3）
g ( D , A ) = H ( D ) − H ( D ∣ A ) g(D, A)=H(D)-H(D|A) g(D,A)=H(D)−H(D∣A)
H ( D ) = − ∑ k = 1 K ∣ C k ∣ ∣ D ∣ log 2 ∣ C k ∣ ∣ D ∣ H(D)=-\sum_{k=1}^{K} \frac{\left|C_{k}\right|}{|D|} \log {2} \frac{\left|C{k}\right|}{|D|} H(D)=−k=1∑K∣D∣∣Ck∣log2∣D∣∣Ck∣
H ( D ∣ A ) = ∑ i = 1 n ∣ D i ∣ ∣ D ∣ H ( D i ) H(D | A)=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left|D_{i}\right|}{|D|} H\left(D_{i}\right) H(D∣A)=i=1∑n∣D∣∣Di∣H(Di)
其中， H ( D ) H(D) H(D)是数据集 D D D的熵， H ( D i ) H(D_i) H(Di)是数据集 D i D_i Di的熵， H ( D ∣ A ) H(D|A) H(D∣A)是数据集 D D D对特征 A A A的条件熵。 D i D_i Di是 D D D中特征 A A A取第 i i i个值的样本子集， C k C_k Ck是 D D D中属于第 k k k类的样本子集。 n n n是特征 A A A取 值的个数， K K K是类的个数。
（2）样本集合 D D D对特征 A A A的信息增益比（C4.5）
g R ( D , A ) = g ( D , A ) H ( D ) g_{R}(D, A)=\frac{g(D, A)}{H(D)} gR(D,A)=H(D)g(D,A)
其中， g ( D , A ) g(D,A) g(D,A)是信息增益， H ( D ) H(D) H(D)是数据集 D D D的熵。
（3）样本集合 D D D的基尼指数（CART）
Gini ( D ) = 1 − ∑ k = 1 K ( ∣ C k ∣ ∣ D ∣ ) 2 \operatorname{Gini}(D)=1-\sum_{k=1}^{K}\left(\frac{\left|C_{k}\right|}{|D|}\right)^{2} Gini(D)=1−k=1∑K(∣D∣∣Ck∣)2
特征 A A A条件下集合 D D D的基尼指数：
Gini ( D , A ) = ∣ D 1 ∣ ∣ D ∣ Gini ( D 1 ) + ∣ D 2 ∣ ∣ D ∣ Gini ( D 2 ) \operatorname{Gini}(D, A)=\frac{\left|D_{1}\right|}{|D|} \operatorname{Gini}\left(D_{1}\right)+\frac{\left|D_{2}\right|}{|D|} \operatorname{Gini}\left(D_{2}\right) Gini(D,A)=∣D∣∣D1∣Gini(D1)+∣D∣∣D2∣Gini(D2)
4．决策树的生成。通常使用信息增益最大、信息增益比最大或基尼指数最小作为特征选择的准则。决策树的生成往往通过计算信息增益或其他指标，从根结点开始，递归地产生决策树。这相当于用信息增益或其他准则不断地选取局部最优的特征，或将训练集分割为能够基本正确分类的子集。
5．决策树的剪枝。由于生成的决策树存在过拟合问题，需要对它进行剪枝，以简化学到的决策树。决策树的剪枝，往往从已生成的树上剪掉一些叶结点或叶结点以上的子树，并将其父结点或根结点作为新的叶结点，从而简化生成的决策树。
导入包：
python
import numpy as np
import pandas as pd
import math
from math import log创建数据
python
def create_data():
datasets = [['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['青年', '否', '否', '好', '否'],
['青年', '是', '否', '好', '是'],
['青年', '是', '是', '一般', '是'],
['青年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '一般', '否'],
['中年', '否', '否', '好', '否'],
['中年', '是', '是', '好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['中年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '非常好', '是'],
['老年', '否', '是', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '好', '是'],
['老年', '是', '否', '非常好', '是'],
['老年', '否', '否', '一般', '否'],
]
labels = [u'年龄', u'有工作', u'有自己的房子', u'信贷情况', u'类别']
# 返回数据集和每个维度的名称
return datasets, labels
python
datasets, labels = create_data()
python
train_data = pd.DataFrame(datasets, columns=labels)
python
train_data
熵
python
# 计算给定数据集的熵（信息熵）
def calc_ent(datasets):
# 计算数据集的长度
data_length = len(datasets)
# 统计数据集中每个类别的出现次数
label_count = {}
for i in range(data_length):
# 获取每个样本的标签
label = datasets[i][-1]
# 如果该类别不在label_count中，则添加到label_count中
if label not in label_count:
label_count[label] = 0
# 统计该类别的出现次数
label_count[label] += 1
# 计算熵
ent = -sum([(p / data_length) * log(p / data_length, 2)
for p in label_count.values()])
return ent条件熵
python
# 计算给定数据集在指定特征上的条件熵
def cond_ent(datasets, axis=0):
# 计算数据集的长度
data_length = len(datasets)
# 使用字典feature_sets存储在指定特征上的不同取值对应的样本集合
feature_sets = {}
for i in range(data_length):
# 获取每个样本在指定特征上的取值
feature = datasets[i][axis]
# 如果该取值不在feature_sets中，则添加到feature_sets中
if feature not in feature_sets:
feature_sets[feature] = []
# 将该样本添加到对应取值的样本集合中
feature_sets[feature].append(datasets[i])
# 计算条件熵
cond_ent = sum([(len(p) / data_length) * calc_ent(p)
for p in feature_sets.values()])
return cond_ent
python
calc_ent(datasets)0.9709505944546686
信息增益
python
#计算信息增益
def info_gain(ent, cond_ent):
# 信息增益等于熵减去条件熵
return ent - cond_ent
python
#使用信息增益选择最佳特征作为根节点特征进行决策树的训练
def info_gain_train(datasets):
# 计算特征的数量
count = len(datasets[0]) - 1
# 计算整个数据集的熵
ent = calc_ent(datasets)
# 存储每个特征的信息增益
best_feature = []
for c in range(count):
# 计算每个特征的条件熵
c_info_gain = info_gain(ent, cond_ent(datasets, axis=c))
# 将特征及其对应的信息增益存入best_feature列表中
best_feature.append((c, c_info_gain))
# 输出每个特征的信息增益
print('特征({}) 的信息增益为： {:.3f}'.format(labels[c], c_info_gain))
# 找到信息增益最大的特征
best_ = max(best_feature, key=lambda x: x[-1])
# 返回信息增益最大的特征作为根节点特征
return '特征({})的信息增益最大，选择为根节点特征'.format(labels[best_[0]])
python
info_gain_train(np.array(datasets))
利用ID3算法生成决策树
python
# 定义节点类 二叉树
class Node:
def __init__(self, root=True, label=None, feature_name=None, feature=None):
self.root = root
self.label = label
self.feature_name = feature_name
self.feature = feature
self.tree = {}
self.result = {
'label:': self.label,
'feature': self.feature,
'tree': self.tree
}
def __repr__(self):
return '{}'.format(self.result)
def add_node(self, val, node):
self.tree[val] = node
def predict(self, features):
if self.root is True:
return self.label
return self.tree[features[self.feature]].predict(features)
class DTree:
def __init__(self, epsilon=0.1):
self.epsilon = epsilon
self._tree = {}
# 熵
@staticmethod
def calc_ent(datasets):
data_length = len(datasets)
label_count = {}
for i in range(data_length):
label = datasets[i][-1]
if label not in label_count:
label_count[label] = 0
label_count[label] += 1
ent = -sum([(p / data_length) * log(p / data_length, 2)
for p in label_count.values()])
return ent
# 经验条件熵
def cond_ent(self, datasets, axis=0):
data_length = len(datasets)
feature_sets = {}
for i in range(data_length):
feature = datasets[i][axis]
if feature not in feature_sets:
feature_sets[feature] = []
feature_sets[feature].append(datasets[i])
cond_ent = sum([(len(p) / data_length) * self.calc_ent(p)
for p in feature_sets.values()])
return cond_ent
# 信息增益
@staticmethod
def info_gain(ent, cond_ent):
return ent - cond_ent
def info_gain_train(self, datasets):
count = len(datasets[0]) - 1
ent = self.calc_ent(datasets)
best_feature = []
for c in range(count):
c_info_gain = self.info_gain(ent, self.cond_ent(datasets, axis=c))
best_feature.append((c, c_info_gain))
# 比较大小
best_ = max(best_feature, key=lambda x: x[-1])
return best_
def train(self, train_data):
"""
input:数据集D(DataFrame格式)，特征集A，阈值eta
output:决策树T
"""
_, y_train, features = train_data.iloc[:, :
-1], train_data.iloc[:,
-1], train_data.columns[:
-1]
# 1,若D中实例属于同一类Ck，则T为单节点树，并将类Ck作为结点的类标记，返回T
if len(y_train.value_counts()) == 1:
return Node(root=True, label=y_train.iloc[0])
# 2, 若A为空，则T为单节点树，将D中实例树最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T
if len(features) == 0:
return Node(
root=True,
label=y_train.value_counts().sort_values(
ascending=False).index[0])
# 3,计算最大信息增益 同5.1,Ag为信息增益最大的特征
max_feature, max_info_gain = self.info_gain_train(np.array(train_data))
max_feature_name = features[max_feature]
# 4,Ag的信息增益小于阈值eta,则置T为单节点树，并将D中是实例数最大的类Ck作为该节点的类标记，返回T
if max_info_gain < self.epsilon:
return Node(
root=True,
label=y_train.value_counts().sort_values(
ascending=False).index[0])
# 5,构建Ag子集
node_tree = Node(
root=False, feature_name=max_feature_name, feature=max_feature)
feature_list = train_data[max_feature_name].value_counts().index
for f in feature_list:
sub_train_df = train_data.loc[train_data[max_feature_name] ==
f].drop([max_feature_name], axis=1)
# 6, 递归生成树
sub_tree = self.train(sub_train_df)
node_tree.add_node(f, sub_tree)
# pprint.pprint(node_tree.tree)
return node_tree
def fit(self, train_data):
self._tree = self.train(train_data)
return self._tree
def predict(self, X_test):
return self._tree.predict(X_test)
python
datasets, labels = create_data()
data_df = pd.DataFrame(datasets, columns=labels)
dt = DTree()
tree = dt.fit(data_df)
python
tree{'label:': None, 'feature': 2, 'tree': {'否': {'label:': None, 'feature': 1, 'tree': {'否': {'label:': '否', 'feature': None, 'tree': {}}, '是': {'label:': '是', 'feature': None, 'tree': {}}}}, '是': {'label:': '是', 'feature': None, 'tree': {}}}}
python
dt.predict(['老年', '否', '否', '一般'])'否'
Scikit-learn实例
python
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter使用Iris数据集，我们可以构建如下树：
python
#data
def create_data():
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = [
'sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label'
]
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
# print(data)
return data[:, :2], data[:, -1],iris.feature_names[0:2]
X, y,feature_name= create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)决策树分类
python
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.tree import export_graphviz
import graphviz
from sklearn import tree
clf = DecisionTreeClassifier()
clf.fit(X_train, y_train,)
clf.score(X_test, y_test)0.9
一旦经过训练，就可以用 plot_tree函数绘制树：
python
tree.plot_tree(clf) [Text(0.5, 0.9, 'x[0] <= 5.45\ngini = 0.496\nsamples = 70\nvalue = [38, 32]'),
Text(0.25, 0.7, 'x[1] <= 2.65\ngini = 0.184\nsamples = 39\nvalue = [35, 4]'),
Text(0.125, 0.5, 'gini = 0.0\nsamples = 3\nvalue = [0, 3]'),
Text(0.375, 0.5, 'x[0] <= 5.35\ngini = 0.054\nsamples = 36\nvalue = [35, 1]'),
Text(0.25, 0.3, 'gini = 0.0\nsamples = 30\nvalue = [30, 0]'),
Text(0.5, 0.3, 'x[1] <= 3.2\ngini = 0.278\nsamples = 6\nvalue = [5, 1]'),
Text(0.375, 0.1, 'gini = 0.0\nsamples = 1\nvalue = [0, 1]'),
Text(0.625, 0.1, 'gini = 0.0\nsamples = 5\nvalue = [5, 0]'),
Text(0.75, 0.7, 'x[1] <= 3.6\ngini = 0.175\nsamples = 31\nvalue = [3, 28]'),
Text(0.625, 0.5, 'gini = 0.0\nsamples = 28\nvalue = [0, 28]'),
Text(0.875, 0.5, 'gini = 0.0\nsamples = 3\nvalue = [3, 0]')]
也可以导出树
python
tree_pic = export_graphviz(clf, out_file="mytree.pdf")
with open('mytree.pdf') as f:
dot_graph = f.read()
python
graphviz.Source(dot_graph)
或者，还可以使用函数 export_text以文本格式导出树。此方法不需要安装外部库，而且更紧凑：
python
from sklearn.tree import export_text
python
r = export_text(clf)
python
print(r)|--- feature_0 <= 5.45
| |--- feature_1 <= 2.65
| | |--- class: 1.0
| |--- feature_1 > 2.65
| | |--- feature_0 <= 5.35
| | | |--- class: 0.0
| | |--- feature_0 > 5.35
| | | |--- feature_1 <= 3.20
| | | | |--- class: 1.0
| | | |--- feature_1 > 3.20
| | | | |--- class: 0.0
|--- feature_0 > 5.45
| |--- feature_1 <= 3.60
| | |--- class: 1.0
| |--- feature_1 > 3.60
| | |--- class: 0.0
决策树回归
python
import numpy as np
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
import matplotlib.pyplot as plt
python
# Create a random dataset
rng = np.random.RandomState(1)
X = np.sort(5 * rng.rand(80, 1), axis=0)
y = np.sin(X).ravel()
y[::5] += 3 * (0.5 - rng.rand(16))
python
# Fit regression model
regr_1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=2)
regr_2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=5)
regr_1.fit(X, y)
regr_2.fit(X, y)
# Predict
X_test = np.arange(0.0, 5.0, 0.01)[:, np.newaxis]
y_1 = regr_1.predict(X_test)
y_2 = regr_2.predict(X_test)
# Plot the results
plt.figure()
plt.scatter(X, y, s=20, edgecolor="black", c="darkorange", label="data")
plt.plot(X_test, y_1, color="cornflowerblue", label="max_depth=2", linewidth=2)
plt.plot(X_test, y_2, color="yellowgreen", label="max_depth=5", linewidth=2)
plt.xlabel("data")
plt.ylabel("target")
plt.title("Decision Tree Regression")
plt.legend()
plt.show()
Scikit-learn 的决策树参数
DecisionTreeClassifier(criterion="gini",
splitter="best",
max_depth=None,
min_samples_split=2,
min_samples_leaf=1,
min_weight_fraction_leaf=0.,
max_features=None,
random_state=None,
max_leaf_nodes=None,
min_impurity_decrease=0.,
min_impurity_split=None,
class_weight=None,
presort=False)
参数含义：
1.criterion:string, optional (default="gini")
(1).criterion='gini',分裂节点时评价准则是Gini指数。
(2).criterion='entropy',分裂节点时的评价指标是信息增益。
2.max_depth:int or None, optional (default=None)。指定树的最大深度。
如果为None，表示树的深度不限。直到所有的叶子节点都是纯净的，即叶子节点
中所有的样本点都属于同一个类别。或者每个叶子节点包含的样本数小于min_samples_split。
3.splitter:string, optional (default="best")。指定分裂节点时的策略。
(1).splitter='best',表示选择最优的分裂策略。
(2).splitter='random',表示选择最好的随机切分策略。
4.min_samples_split:int, float, optional (default=2)。表示分裂一个内部节点需要的做少样本数。
(1).如果为整数，则min_samples_split就是最少样本数。
(2).如果为浮点数(0到1之间)，则每次分裂最少样本数为ceil(min_samples_split * n_samples)
5.min_samples_leaf: int, float, optional (default=1)。指定每个叶子节点需要的最少样本数。
(1).如果为整数，则min_samples_split就是最少样本数。
(2).如果为浮点数(0到1之间)，则每个叶子节点最少样本数为ceil(min_samples_leaf * n_samples)
6.min_weight_fraction_leaf:float, optional (default=0.)
指定叶子节点中样本的最小权重。
7.max_features:int, float, string or None, optional (default=None).
搜寻最佳划分的时候考虑的特征数量。
(1).如果为整数，每次分裂只考虑max_features个特征。
(2).如果为浮点数(0到1之间)，每次切分只考虑int(max_features * n_features)个特征。
(3).如果为'auto'或者'sqrt',则每次切分只考虑sqrt(n_features)个特征
(4).如果为'log2',则每次切分只考虑log2(n_features)个特征。
(5).如果为None,则每次切分考虑n_features个特征。
(6).如果已经考虑了max_features个特征，但还是没有找到一个有效的切分，那么还会继续寻找
下一个特征，直到找到一个有效的切分为止。
8.random_state:int, RandomState instance or None, optional (default=None)
(1).如果为整数，则它指定了随机数生成器的种子。
(2).如果为RandomState实例，则指定了随机数生成器。
(3).如果为None，则使用默认的随机数生成器。
9.max_leaf_nodes: int or None, optional (default=None)。指定了叶子节点的最大数量。
(1).如果为None,叶子节点数量不限。
(2).如果为整数，则max_depth被忽略。
10.min_impurity_decrease:float, optional (default=0.)
如果节点的分裂导致不纯度的减少(分裂后样本比分裂前更加纯净)大于或等于min_impurity_decrease，则分裂该节点。
加权不纯度的减少量计算公式为：
min_impurity_decrease=N_t / N * (impurity - N_t_R / N_t * right_impurity
- N_t_L / N_t * left_impurity)
其中N是样本的总数，N_t是当前节点的样本数，N_t_L是分裂后左子节点的样本数，
N_t_R是分裂后右子节点的样本数。impurity指当前节点的基尼指数，right_impurity指
分裂后右子节点的基尼指数。left_impurity指分裂后左子节点的基尼指数。
11.min_impurity_split:float
树生长过程中早停止的阈值。如果当前节点的不纯度高于阈值，节点将分裂，否则它是叶子节点。
这个参数已经被弃用。用min_impurity_decrease代替了min_impurity_split。
12.class_weight:dict, list of dicts, "balanced" or None, default=None
类别权重的形式为{class_label: weight}
(1).如果没有给出每个类别的权重，则每个类别的权重都为1。
(2).如果class_weight='balanced'，则分类的权重与样本中每个类别出现的频率成反比。
计算公式为：n_samples / (n_classes * np.bincount(y))
(3).如果sample_weight提供了样本权重(由fit方法提供)，则这些权重都会乘以sample_weight。
13.presort:bool, optional (default=False)
指定是否需要提前排序数据从而加速训练中寻找最优切分的过程。设置为True时，对于大数据集
会减慢总体的训练过程；但是对于一个小数据集或者设定了最大深度的情况下，会加速训练过程。
决策树调参
python
# 导入库
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import GridSearchCV
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn import metrics
python
# 导入数据集
X = datasets.load_iris() # 以全部字典形式返回,有data,target,target_names三个键
data = X.data
target = X.target
name = X.target_names
x, y = datasets.load_iris(return_X_y=True) # 能一次性取前2个
print(x.shape, y.shape)(150, 4) (150,)
python
# 数据分为训练集和测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x,
y,
test_size=0.2,
random_state=100)
python
# 用GridSearchCV寻找最优参数（字典）
param = {
'criterion': ['gini'],
'max_depth': [30, 50, 60, 100],
'min_samples_leaf': [2, 3, 5, 10],
'min_impurity_decrease': [0.1, 0.2, 0.5]
}
grid = GridSearchCV(DecisionTreeClassifier(), param_grid=param, cv=6)
grid.fit(x_train, y_train)
print('最优分类器:', grid.best_params_, '最优分数:', grid.best_score_) # 得到最优的参数和分值最优分类器: {'criterion': 'gini', 'max_depth': 50, 'min_impurity_decrease': 0.2, 'min_samples_leaf': 2} 最优分数: 0.9416666666666665
参考：
李航. 统计学习方法[M]. 北京: 清华大学出版社,2019.