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Leetcode.2560 打家劫舍 IV
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题目描述
沿街有一排连续的房屋。每间房屋内都藏有一定的现金。现在有一位小偷计划从这些房屋中窃取现金。
由于相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，所以小偷 不会窃取相邻的房屋 。
小偷的 窃取能力 定义为他在窃取过程中能从单间房屋中窃取的 最大金额 。
给你一个整数数组 n u m s nums nums 表示每间房屋存放的现金金额。形式上，从左起第 i i i 间房屋中放有 n u m s [ i ] nums[i] nums[i] 美元。
另给你一个整数 k k k ，表示窃贼将会窃取的 最少 房屋数。小偷总能窃取至少 k k k 间房屋。
返回小偷的 最小 窃取能力。
示例 1：
输入：nums = [2,3,5,9], k = 2
输出：5
解释：
小偷窃取至少 2 间房屋，共有 3 种方式：
- 窃取下标 0 和 2 处的房屋，窃取能力为 max(nums[0], nums[2]) = 5 。
- 窃取下标 0 和 3 处的房屋，窃取能力为 max(nums[0], nums[3]) = 9 。
- 窃取下标 1 和 3 处的房屋，窃取能力为 max(nums[1], nums[3]) = 9 。
因此，返回 min(5, 9, 9) = 5 。
示例 2：
输入：nums = [2,7,9,3,1], k = 2
输出：2
解释：共有 7 种窃取方式。窃取能力最小的情况所对应的方式是窃取下标 0 和 4 处的房屋。返回 max(nums[0], nums[4]) = 2 。
提示：
- 1 ≤ n u m s . l e n g t h ≤ 1 0 5 1 \leq nums.length \leq 10^5 1≤nums.length≤105
- 1 ≤ n u m s [ i ] ≤ 1 0 9 1 \leq nums[i] \leq 10^9 1≤nums[i]≤109
- 1 ≤ k ≤ ( n u m s . l e n g t h + 1 ) / 2 1 \leq k \leq (nums.length + 1)/2 1≤k≤(nums.length+1)/2
解法：二分 + dp
我们定义 f ( i , x ) f(i,x) f(i,x) 为 能从 n u m s nums nums前 i i i 个房间中选的 不大于 x x x 的最多房间个数。
如果 f ( n , x ) ≥ k f(n,x) \geq k f(n,x)≥k ，说明 能找到 至少 k k k 个 不大于 x x x 的房间，那么 x x x 就是答案之一。
如果 f ( n , x ) < k f(n,x) < k f(n,x)<k ，说明 不能找到 至少 k k k 个 不大于 x x x 的房间，那么我们需要适当的增大 x x x。
所以我们可以使用二分，来得到一个最小的满足要求的 x x x，就是答案。
对于 n u m s [ i ] nums[i] nums[i]，我们需要讨论：
- 如果 n u m s [ i ] > x nums[i] > x nums[i]>x，说明当前 n u m s [ i ] nums[i] nums[i] 我们是不能选的，所以 f ( i ) = f ( i − 1 ) f(i) = f(i - 1) f(i)=f(i−1)；
- 如果 n u m s [ i ] ≤ x nums[i] \leq x nums[i]≤x，说明当前 n u m s [ i ] nums[i] nums[i] 我们可以选，所以 f ( i ) = m a x { f ( i ) , f ( i − 2 ) + 1 } f(i) = max \{ f(i) ,f(i - 2) + 1 \} f(i)=max{f(i),f(i−2)+1}；
在实现上我们可以只使用两个变量 f 0 f0 f0 和 f 1 f1 f1 来代替数组。
时间复杂度： O ( n × l o g n ) O(n \times logn) O(n×logn)
C++代码：
cpp
class Solution {
public:
int minCapability(vector<int>& nums, int k) {
int n = nums.size();
auto check = [&](int t) -> bool{
int f0 = 0 , f1 = 0;
for(auto x:nums){
if(x > t) f0 = f1;
else{
int temp = f1;
f1 = max(f1,f0 + 1);
f0 = temp;
}
}
return f1 >= k;
};
int l = 0 , r = 1e9;
while(l < r){
int mid = (l + r) >> 1;
if(check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
};