前言

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一. 戳气球

首先我们看一下题干：对于超出了数组边界的，就当做它是一个数字为1的气球。遇到这种的，我们可以考虑给数组边界添加哨兵。其值为1。

java 复制代码

// 左右各加一个哨兵节点
public int maxCoins(int[] nums) {
    // 1.先处理特殊情况
    if (nums.length == 1) {
        return nums[0];
    }
    int len = nums.length;
    // 左右各加一个哨兵节点
    int[] arr = new int[len + 2];
    arr[0] = 1;
    arr[len + 1] = 1;
    for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
        arr[i] = nums[i - 1];
    }
    return ???
}

其次，我们假设有这么一个函数dfs，代表在(left,right)开区间内，可以获得的最大硬币数量。为啥是开区间？因为我们为数组添加了两个哨兵，这俩哨兵不应该在处理范围内。同时，设置俩哨兵的意义也就是：我们认定，每次戳气球的时候，必定存在至少3个气球（有两个可能是哨兵气球）

java 复制代码

// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
}

那么，dfs递归，我们首先要写的就是他的递归终止条件：

java 复制代码

// 气球数量不足3个
if (right - left < 2) {
    return 0;
}
// 气球数量正好3个
if (right - left == 2) {
	// 我们只能戳破中间的气球（左右两侧是哨兵），获得对应硬币数量
    return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
}

其次，dfs递归，我们做啥事情？根据前面的递归终止条件可以判断出，此时气球的数量必定 > 3个。我们假设戳气球的步骤：

先把第k个气球的左侧给戳破完，那么左侧区域能获得的最大硬币数量为：dfs(nums, left,k)。
再把第k个气球的右侧给戳破完，那么右侧区域能获得的最大硬币数量为：dfs(nums, k,right)。
最后戳破第k个气球，那么戳破当前气球获得的硬币数量为：nums[k] * nums[left] * nums[right]。

那么写成代码就是：

java 复制代码

// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
    int res = 0;
    // 气球数量不足3个
    if (right - left < 2) {
        return 0;
    }
    // 气球数量正好3个
    if (right - left == 2) {
        return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
    }
    // 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
    for (int k = left + 1; k < right; k++) {
        // 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
        int leftCount = dfs(nums, left, k);
        int rightCount = dfs(nums, k, right);
        int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
        res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
    }
    return res;
}

最终的完整代码：

java 复制代码

public int maxCoins(int[] nums) {
    // 1.先处理特殊情况
    if (nums.length == 1) {
        return nums[0];
    }
    int len = nums.length;
    // 左右各加一个哨兵节点
    int[] arr = new int[len + 2];
    arr[0] = 1;
    arr[len + 1] = 1;
    for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
        arr[i] = nums[i - 1];
    }
    return dfs(arr, 0, len + 1);
}

// nums 在(left,right)开区间内戳气球
public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
    int res = 0;
    // 气球数量不足3个
    if (right - left < 2) {
        return 0;
    }
    // 气球数量正好3个
    if (right - left == 2) {
        return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
    }
    // 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
    for (int k = left + 1; k < right; k++) {
        // 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
        int leftCount = dfs(nums, left, k);
        int rightCount = dfs(nums, k, right);
        int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
        res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
    }
    return res;
}

1.1 记忆化搜索

和填充书架一样，我们在dfs递归的时候，有大量的重复计算，我们用一个全局的dfsCache做一下缓存即可。

dfsCache的初始化：

java 复制代码

dfsCache = new int[len + 2][len + 2];
for (int i = 0; i < len + 2; i++) {
    Arrays.fill(dfsCache[i], -1);
}

dfsCache的作用体现：如果发现计算过这个值，直接返回，后续的递归直接不用做了。

java 复制代码

if (dfsCache[left][right] != -1) {
    return dfsCache[left][right];
}

完整代码：

java 复制代码

public class Test312 {
    int[][] dfsCache;

    public int maxCoins(int[] nums) {
        // 1.先处理特殊情况
        if (nums.length == 1) {
            return nums[0];
        }
        int len = nums.length;
        // 左右各加一个哨兵节点
        int[] arr = new int[len + 2];
        arr[0] = 1;
        arr[len + 1] = 1;
        for (int i = 1; i < len + 1; i++) {
            arr[i] = nums[i - 1];
        }
        dfsCache = new int[len + 2][len + 2];
        for (int i = 0; i < len + 2; i++) {
            Arrays.fill(dfsCache[i], -1);
        }
        return dfs(arr, 0, len + 1);
    }

    // nums 在(left,right)开区间内戳气球
    public int dfs(int[] nums, int left, int right) {
        int res = 0;
        // 气球数量不足3个
        if (right - left < 2) {
            return 0;
        }
        // 气球数量正好3个
        if (right - left == 2) {
            return nums[left] * nums[left + 1] * nums[right];
        }
        if (dfsCache[left][right] != -1) {
            return dfsCache[left][right];
        }
        // 在[left+1,right-1]闭区间内遍历，选取每次遍历的当前节点作为 最后戳破 的气球（最后戳破。最后戳破。最后戳破）
        for (int k = left + 1; k < right; k++) {
            // 戳破第k个气球，该气球左侧的最大硬币数
            int leftCount = dfs(nums, left, k);
            int rightCount = dfs(nums, k, right);
            int currentFinalCount = nums[k] * nums[left] * nums[right];
            res = Math.max(res, leftCount + rightCount + currentFinalCount);
        }
        return dfsCache[left][right] = res;
    }