一、基础知识
1、一阶微分方程
称为一阶微分方程。y(x0)=y0为定解条件。
其常规求解方法：
（1）变量分离
再两边积分就可以求出通解。
（2）一阶线性求解公式
通解公式：
有些一阶微分方程需要通过整体代换，比如u=x+y,u=xy,u=x/y,u=1/yn等化为以上两种类型求解后再还原。
2、二阶常系数微分方程
【1】
【2】
【1】为齐次，【2】为非齐次。
2.1 齐次【1】的通解构造
为【1】的特征方程。
（1）若特征方程有两个不同实根
【1】通解为
（2）若特征方程有重根 
【1】的通解为
（3）若特征方程有一对共轭复根
【1】通解为
2.2 非齐次【2】的通解
（1）若y*是【2】的一个特解，则【2】的通解为
（2）若y1*是
的一个特解，y2*
的一个特解，则微分方程
的通解为
3、微分方程稳定性理论简介
3.1 一阶微分方程的平衡点及稳定性
【3】
【3】的右端不含自变量t，称为自治方程，代数方程 f(x)=0的实根x=x0称为【1】的平衡点（奇点），它也是【1】的解（奇解）。
如果方程3的解从某个x(0)出发，满足 
【4】
则称平衡点x0是稳定的，否则就不稳定。
若f(x)可微，则将f(x)在x0附近做一阶Taylor展开，则（1）就近似表达为
【5】
当x-x00时R1(x)是高阶无穷小。则5是【1】的近似线性方程，x0也是5的平衡点，关于x0的稳定性，有如下结论：
（1）若
x0对于【5】是稳定的；
（2）若
x0对于【5】是不稳定的；
3.2 二元方程的平衡点及稳定性
【6】
【6】右端不显含t，称为自治方程，方程组
【7】
的根x1=x10,x2=x20称为【6】的平衡点，记为p0(x10,x20).
如果
【8】
称p0为稳定的；否则称为不稳定的。
（1）线性常系数方程的稳定性讨论
【9】
设【9】的系数矩阵为A，当|A|≠0时，【9】有唯一的平衡点p0(0,0)。若A有两个特征根
【10】
（1*）若两个特征根都为负数或有负实部，则p0是平稳的；即p>0,q>0，平衡点稳定；
（2*）若两个特征根有一个为正或正实部，则p0是不稳定的。即p<0或q<0，平衡点不稳定；
（2）非线性二元方程，在p0(x10,x20)的稳定性讨论方法如下：
剩下的判断方法同上。