【学习笔记】CF1103D Professional layer

首先分析不出啥性质，所以肯定是暴力优化😅

常见的暴力优化手段有均摊，剪枝，数据范围分治（points），答案值域分析之类的。

比较经典的题目是 CF1870E Another MEX Problem，可以用剪枝和分析值域两种方法通过

考虑剪枝，这个大佬是剪枝高手，大家快去膜拜他🤩

首先，设 g = gcd ⁡ 1 ≤ i ≤ n a i g=\gcd_{1\le i\le n} a_i g=gcd1≤i≤nai，然后对每个 a i a_i ai只保留 g g g中的质因数。发现此时本质不同的 a i a_i ai比较少，并且本质不同的质因数也比较少，考虑从这两方面入手

记质因数数目为 M M M， a i a_i ai的状态数为 m m m，显然 M ≤ 11 M\le 11 M≤11， m m m不太清楚，但是可以感性发现不会很大

发现对于相同的 a i a_i ai，只需要保留前 M M M个较小的 e i e_i ei即可，后面的都用不上。

同时注意到被操作的数不会超过 M M M，因此 D P DP DP复杂度为 O ( 3 M m M 2 ) O(3^MmM^2) O(3MmM2)

每次只加入一个 a i a_i ai太浪费了，可以考虑一次将相同的 a i a_i ai一起加进去，然后记录需要选择的 a i a_i ai数目的最小值。这样组外 D P DP DP的复杂度为 O ( 3 M m M ) O(3^MmM) O(3MmM)，组内 D P DP DP的复杂度为 O ( 3 M m ) O(3^Mm) O(3Mm)。

当 M M M取遍所有值时，最大计算量在 1 0 8 10^8 108左右，可以通过。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ll long long
#define db double
#define inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,cnt;
ll K,a[N],nums[N],e[N],g,res;
int M;
ll prime[15];
vector<ll>v[15005];
ll gcd(ll x,ll y){
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
int get(ll x){
    return lower_bound(nums+1,nums+1+cnt,x)-nums;
}
void dfs(int u,ll mul){
    if(u==M){
        nums[++cnt]=mul;
        return;
    }
    while(mul<=1000000000000/prime[u]){
        mul*=prime[u],dfs(u+1,mul);
    }
}
ll now[1<<11][12],nxt[1<<11][12],sm[12];
int dp[1<<11],h[1<<11];
ll b[15];
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>K;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],g=gcd(g,a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>e[i];
    ll tmp=g;
    for(int i=2;i<=tmp/i;i++){
        if(tmp%i==0){
            prime[M++]=i;
            while(tmp%i==0)tmp/=i;
        }
    }if(tmp>1)prime[M++]=tmp;
    dfs(0,1),sort(nums+1,nums+1+cnt);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ll tmp2=1;
        for(int j=0;j<M;j++){
            while(a[i]%prime[j]==0)a[i]/=prime[j],tmp2*=prime[j];
        }v[get(tmp2)].pb(e[i]);
    }memset(now,0x3f,sizeof now),now[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(v[i].size()==0)continue;
        sort(v[i].begin(),v[i].end());
        if(v[i].size()>M)v[i].resize(M);
        for(int j=0;j<v[i].size();j++)sm[j+1]=sm[j]+v[i][j];
        ll tmp=nums[i];
        for(int j=0;j<M;j++){
            b[j]=1;
            while(tmp%prime[j]==0)b[j]*=prime[j],tmp/=prime[j];
        }
        for(int j=0;j<1<<M;j++){
            for(int k=0;k<=M;k++){
                nxt[j][k]=now[j][k];
            }
        }
        for(int j=1;j<1<<M;j++){
            h[j]=0,dp[j]=114514;ll mul=1;
            for(int k=0;k<M;k++){
                if(j>>k&1)mul*=b[k];
            }if(mul<=K)h[j]=1;
            for(int k=j;k;k=(k-1)&j){
                if(h[k])dp[j]=min(dp[j],dp[j-k]+1);
            }
            if(dp[j]<=v[i].size()){
                int s=(1<<M)-1-j;
                for(int k=s;;k=(k-1)&s){
                    for(int l=0;l<=M;l++){
                        if(now[k][l]!=inf){
                            nxt[k+j][l+dp[j]]=min(nxt[k+j][l+dp[j]],now[k][l]+sm[dp[j]]);
                        }
                    }if(k==0)break;
                }
            }
        }
        for(int j=0;j<1<<M;j++){
            for(int k=0;k<=M;k++){
                now[j][k]=nxt[j][k];
            }
        }
    }ll res=inf;
    for(int i=0;i<=M;i++)if(now[(1<<M)-1][i]!=inf)res=min(res,now[(1<<M)-1][i]*i);
    cout<<(res==inf?-1:res);
}