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引言
昨天学了矩阵的合同关系，老汤讲义里也列举了三大关系的定义和判别法，方便我们进行区分。但是光看还是难以入脑，为此，我想自己梳理一遍，顺带也复习一下线代之前的所学。
一、定义
矩阵等价 ------ 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为同型矩阵，若存在可逆矩阵 P , Q \pmb{P,Q} P,Q ，使得 P A Q = B \pmb{PAQ=B} PAQ=B ，称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价，记为 A ≅ B \pmb{A\cong B} A≅B 。
矩阵相似 ------ 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ，使得 P − 1 A P = B \pmb{P^{-1}AP=B} P−1AP=B ，称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似，记为 A ∼ B \pmb{A\sim B} A∼B 。
矩阵合同 ------ 设 A , B \pmb{A,B} A,B 为 n n n 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ，使得 P T A P = B \pmb{P^TAP=B} PTAP=B ，称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同，记为 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B 。
从定义来看，在考研范围内，合同的要求最高，为 n n n 阶实对称矩阵，相似要求为方阵，而等价则只要求同型。
三者关系的定义形式也很类似，都是存在可逆矩阵，使得一个矩阵左乘右乘，变为另一个矩阵。容易看出，相似和合同关系一定是等价关系 ，因为相似和合同中的矩阵 P , P T , P − 1 \pmb{P,P^T,P^{-1}} P,PT,P−1 都是可逆的。
我们也可以发现，如果矩阵 P \pmb{P} P 满足 P T = P − 1 \pmb{P^T=P^{-1}} PT=P−1 ，相似关系和合同关系似乎就等价了。恰巧，这样的矩阵我们也学过，叫作正交矩阵。但是实际上是有些问题的，我们需要借助对角化的内容来进行论证，请看我的。
假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似，是否能推出一定合同呢？答案是肯定的。
证明： 由 A ∼ B \pmb{A\sim B} A∼B ，有存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ，使得 P − 1 A P = B \pmb{P^{-1}AP=B} P−1AP=B 。又因为矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，即存在正交矩阵 Q 1 , Q 2 \pmb{Q_1,Q_2} Q1,Q2 ，使得 Q 1 − 1 A Q = Λ = Q 2 − 1 B Q 2 \pmb{Q_1^{-1}AQ=\Lambda=Q^{-1}_2BQ_2} Q1−1AQ=Λ=Q2−1BQ2 。由 Q 1 T = Q 1 − 1 , Q 2 T = Q 2 − 1 \pmb{Q_1^T=Q_1^{-1},Q_2^T=Q_2^{-1}} Q1T=Q1−1,Q2T=Q2−1 ，则 Q 1 T A Q 1 = Q 2 T B Q 2 \pmb{Q_1^TAQ_1=Q_2^TBQ_2} Q1TAQ1=Q2TBQ2 ，两边同时左乘 ( Q 2 T ) − 1 = Q 2 \pmb{(Q_2^T)^{-1}=Q_2} (Q2T)−1=Q2 ，右乘 Q 2 − 1 = Q 2 T \pmb{Q_2^{-1}=Q_2^T} Q2−1=Q2T ，即 Q 2 Q 1 T A Q 1 Q 2 T = B \pmb{Q_2Q_1^TAQ_1Q_2^T=B} Q2Q1TAQ1Q2T=B ，整理可得 ( Q 1 Q 2 T ) T A ( Q 1 Q 2 T ) = B \pmb{(Q_1Q_2^T)^TA(Q_1Q_2^T)=B} (Q1Q2T)TA(Q1Q2T)=B 证毕。
假设两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 合同，是否能推出一定相似呢？答案是否定的。
证明： 由 A ≃ B \pmb{A\simeq B} A≃B ，存在可逆矩阵 P \pmb{P} P（非正交矩阵） ，使得 P T A P = B \pmb{P^TAP=B} PTAP=B 。 矩阵 B \pmb{B} B 为实对称矩阵，一定可以相似对角化，有 Q T B Q = Λ \pmb{Q^{T}BQ=\Lambda} QTBQ=Λ ，则有 Q T P T A P Q = Λ \pmb{Q^TP^TAPQ=\Lambda} QTPTAPQ=Λ 。将 A \pmb{A} A 单独放到一边，有 A = P Q Λ Q − 1 P − 1 = ( P T ) − 1 ( ( Q T ) − 1 Λ Q − 1 ) P − 1 = ( P T ) − 1 B P − 1 \pmb{A=PQ\Lambda Q^{-1}P^{-1}=(P^T)^{-1}((Q^T)^{-1}\Lambda Q^{-1})P^{-1}=(P^T)^{-1}BP^{-1}} A=PQΛQ−1P−1=(PT)−1((QT)−1ΛQ−1)P−1=(PT)−1BP−1 。当且仅当 ( P T ) − 1 = P \pmb{(P^T)^{-1}=P} (PT)−1=P 时，即 P \pmb{P} P 为正交矩阵时，有如上结论。
证毕。
第一个命题没有涉及到 P \pmb{P} P 这一可逆而不确定是否正交的矩阵，故可顺利进行。而第二个命题无法保证 P \pmb{P} P 正交，故无法进行下去。
二、判别法
如何判断两个同型矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否等价呢？
给出判别法：若 r ( A ) = r ( B ) r(\pmb{A})=r(\pmb{B}) r(A)=r(B) ，则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 等价。
如何判断两个 n n n 阶矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否相似呢？
给出判别法：若 A , B \pmb{A,B} A,B 的特征值相同且 A , B \pmb{A,B} A,B 均可以相似对角化，则矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 相似。
如何判断两个实对称矩阵 A , B \pmb{A,B} A,B 是否合同呢？
给出判别法： A , B \pmb{A,B} A,B 的正、负、零特征值个数相同。
从判别法可以看出，等价只要求两个矩阵的秩相同；而相似除秩相同外，还需要保证两个矩阵的行列式、迹、特征值、特征多项式也相同；合同则除秩相等外，还需保证其正、负、零特征值个数对应相同。
写在最后
在考研范围内，我们只能得出：
在实对称矩阵范围： 相似一定合同，合同不一定相似；相似一定等价，合同一定等价。
在一般 n n n 阶矩阵范围： 相似和合同无关；相似一定等价，合同一定等价。