P4451 [国家集训队] 整数的lqp拆分

传送门:洛谷

解题思路:

考虑设 f ( i ) f(i) f(i)为和为 i i i的拆分权值和,那么我们可以得到一个递推关系式 f ( i ) = ∑ i = 1 n f ( n − i ) ∗ f i b ( i ) f(i)=\sum_{i=1}^nf(n-i)*fib(i) f(i)=i=1∑nf(n−i)∗fib(i)这个表达式的含义就是枚举一个数的值,由于分配率,我们给每一个和乘上一个数,相当于给整体乘上一个数

此时我们发现, f ( 0 ) f(0) f(0)应该为 1 1 1,但是光光的由上面的式子,我们并不能得到 f ( 0 ) f(0) f(0)为1,所以我们考虑补充定义 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f(0)=1

也就是说此时 f ( i ) = $n = 1$ + ∑ i = 1 n f ( n − i ) ∗ f i b ( i ) f(i)= $n=1$ +\sum_{i=1}^nf(n-i)*fib(i) f(i)= $n=1$ +i=1∑nf(n−i)∗fib(i)

发现很像一个卷积式子,但是下标不为 1 1 1,因为 f i b ( 0 ) = 0 fib(0)=0 fib(0)=0(这意味着常数项一定为0,不会影响 f ( 0 ) f(0) f(0)的值),所以我们不妨考虑临时扩展上述式子,可以得到:
f ( i ) = $n = 1$ + ∑ i = 0 n f ( n − i ) ∗ f i b ( i ) f(i)= $n=1$ +\sum_{i=0}^nf(n-i)*fib(i) f(i)= $n=1$ +i=0∑nf(n−i)∗fib(i)

所以我们可以得到, F = F ∗ F I B + 1 F=F*FIB+1 F=F∗FIB+1

化解一下可以得到 F = 1 1 − F I B F=\frac{1}{1-FIB} F=1−FIB1,对于 F I B FIB FIB数列,我们有一个生成函数的结论(限于篇幅,此处不证)
F I B = x 1 − x − x 2 FIB=\frac{x}{1-x-x^2} FIB=1−x−x2x

所以此时我们可以很轻易的写出 F F F的生成函数, F = 1 + x 1 − 2 ∗ x − x 2 F=1+\frac{x}{1-2*x-x^2} F=1+1−2∗x−x2x

我们现在需要做的事就是将 F F F展开回去,因为 F $1$ = 1 F $1$ =1 F $1$ =1,所以1可以直接分开拿出来,现在考虑后面的那一个分式.

根据套路,这应该是一个可以裂项的式子,考虑待定系数法来裂项,

我们可以得到 x 1 − 2 ∗ x − x 2 = 2 4 ∗ ( 1 1 − ( 1 + 2 ) x − 1 1 − ( 1 − 2 ) x ) \frac{x}{1-2*x-x^2}=\frac{\sqrt{2}}{4}*(\frac{1}{1-(1+\sqrt{2})x}-\frac{1}{1-(1-\sqrt{2})x}) 1−2∗x−x2x=42 ∗(1−(1+2 )x1−1−(1−2 )x1)

根据一些生成函数的小结论, ∑ i = 0 ∞ x i = 1 1 − x \sum_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x} ∑i=0∞xi=1−x1

我们对上述式子进行展开,可以得到:
F = 1 ∗ x 0 + 2 4 ∗ ∑ i = 0 ∞ ( ( 1 + 2 ) i − ( 1 − 2 ) i ) x i F=1*x^0+\frac{\sqrt{2}}{4}*\sum_{i=0}^\infty((1+\sqrt{2})^i-(1-\sqrt{2})^i)x^i F=1∗x0+42 ∗i=0∑∞((1+2 )i−(1−2 )i)xi

不难看出,我们最终的答案就是 ( 1 + 2 ) i − ( 1 − 2 ) i (1+\sqrt{2})^i-(1-\sqrt{2})^i (1+2 )i−(1−2 )i

此时还需要考虑 2 \sqrt{2} 2 的二次剩余,也就是考虑这样的一个同余方程:
x 2 ≡ 2 m o d p x^2\equiv2\;mod\;p x2≡2modp

因为我们现在并不是解决二次剩余问题,我们只需要求出一个数的二次剩余,所以我们大可以在本地跑出这个式子的答案.

至此,本题解决.

下面是本题的代码部分:

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define root 1,n,1
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
inline ll read() {
	ll x=0,w=1;char ch=getchar();
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') w=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x*w;
}
inline void print(__int128 x){
	if(x<0) {putchar('-');x=-x;}
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
#define maxn 1000000
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const double eps=1e-8;
#define	int_INF 0x3f3f3f3f
#define ll_INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
int qpow(int a,int b) {
	int ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) ans=ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int sqrt2=59713600;
void init() {
	for(int i=1;i<=mod;i++) {
		if(i*i%mod==2) {
			sqrt2=i;break;
		}
	}
}
signed main() {
	int n=0;string s;cin>>s;
	for(int i=0;i<s.length();i++) n=(n*10+s[i]-'0')%(mod-1);
//	init();
	cout<<(qpow(1+sqrt2,n)-qpow((1-sqrt2+mod)%mod,n)%mod+mod)%mod*qpow(2*sqrt2%mod,mod-2)%mod<<endl;
	return 0;
}