代码随想录Day20 回溯算法 LeetCode77 组合问题

1.回溯算法理论基础

回溯法也叫回溯搜索法,是搜索法的一种,我们之前在二叉树中也经常使用到回溯来解决问题,其实有递归就有回溯,有的时候回溯隐藏在递归之下,我们不容易发觉,今天我们来详细介绍一下什么是回溯,它能解决哪些问题.

回溯法效率

回溯法的效率是不高的,回溯的本质是穷举,因为有些问题能用回溯法解决出来就不错了,别无他法,只能使用这个暴力方法

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合

切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式

子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集

排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式

棋盘问题：N皇后，解数独等等

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理解回溯法的方式

不要光靠脑子想,要将这种回溯具象化,想象成树形结构,任何回溯法解决的问题都可以转化为树形结构来解决问题.

因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集,集合的大小就构成了树的宽度,递归的深度,都构成的树的深度.

递归就要有终止条件,所以必然是一棵高度有限的树(N叉树).

回溯法代码模板(伪代码)

首先是函数参数和返回值

一般无需返回值,参数很多,一般边写边定,函数名一般定为backtracking
java 复制代码
void backtracking(参数)
终止条件

我们说可以将回溯算法想像成一个树形结构,那么我们就一定有终止条件,一般到达终止条件(叶子结点),也就是我们收获答案的时候,相关为伪代码如下
java 复制代码
if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}
回溯搜索的遍历过程

上文中我们说回溯的树的宽度取决于元素个数,回溯深度取决于递归深度,如图所示

回溯算法遍历的伪代码如下
java 复制代码
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
    处理节点;
    backtracking(路径，选择列表); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}
注意这里的撤销,假设我们要求1234中size为2的组合,有 12 13....这里假设我们第一个节点是12,这里我们要得到13就得将2pop出去,也就是我们回溯撤销的过程.

回溯模板(全)
java 复制代码
void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

2.经典例题 :LeetCode T77 组合问题

题目链接:77. 组合 - 力扣（LeetCode）

题目思路:

我们说递归有三部曲,这里我们回溯也有三部曲,这里我们首先定义一个path变量,来存放我们每条路径上的结果,因为这里我们可以将回溯过程想象成n叉树,所以叶子结点的结果也可以想象成路径的结果,然后定义一个result数组来存放所有路径的集合,这里我们定义为全局变量,下面函数实现中直接操作即可.
java 复制代码
List<Integer> path = new ArrayList<>();
List<List<Integer>>  result = new ArrayList<>();

我们以1234中排列2个数字,即n = 4,k = 2为例,画出如下图

回溯三部曲

1.确定函数参数和返回值

这里n和k肯定是需要的,还有我们需要一个参数就是从哪里开始,于是我们定义一个变量startIndex来记录每次递归开始的逻辑,比如第一次从1开始,第二次从2开始
java 复制代码
public void backtracking(int n, int k,int startIndex)
2.确定终止条件

这里的终止条也是收割结果的时候,我们发现树的叶子节点就是我们所要的结果,我们写出如下代码
java 复制代码
        //终止条件
        if(path.size() == k)
        {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
3.确定一次递归(回溯)过程

这里我们按照上文所说就是我们for循环该登场了,这个时候我们的循环就得从startIndex开始到n结束,里面需要做的事情就是path.add元素,再进行backtracking,最后得pop元素进行一次回溯的过程,这里我们可以想象假设上面这个1234的例子,这里我收集了12这个例子,我想收获13这个结果是不是得将2弹出再将3进行添加呀,下面是代码演示
java 复制代码
        //for循环
        for(int i = startIndex;i<=n;i++)
        {
            path.add(i);
            backtracking(n,k,i+1);
            path.remove(path.size()-1);
        }

题目代码:

java 复制代码

class Solution {
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    List<List<Integer>>  result = new ArrayList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n,k,1);
        return result;

    }
    public void backtracking(int n, int k,int startIndex)
    {
        //终止条件
        if(path.size() == k)
        {
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        //for循环
        for(int i = startIndex;i<=n;i++)
        {
            path.add(i);
            backtracking(n,k,i+1);
            path.remove(path.size()-1);
        }
    }
}

代码优化

还是以上面1234举例,这里我们可以进行一次剪枝,假设我们n = 4,k = 4我们就会发现startIndex取2后面的值就毫无意义了,这里我们就可以对这种情况剪枝,如果后面的元素不足以我构成我们的一次正确的结果,就不要去遍历它了

优化过程如下:

已经选择的元素个数：path.size();

还需要的元素个数为: k - path.size();

在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3，目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2,这里都是合理的

只需修改一下for循环的区间即可
java 复制代码
for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++)