C++前缀和算法：构造乘积矩阵

基础知识点

C++算法：前缀和基础

题目

给你一个下标从 0 开始、大小为 n * m 的二维整数矩阵 grid ，定义一个下标从 0 开始、大小为 n * m 的的二维矩阵 p。如果满足以下条件，则称 p 为 grid 的乘积矩阵：

对于每个元素 p $i$ $j$ ，它的值等于除了 grid $i$ $j$ 外所有元素的乘积。乘积对 12345 取余数。

返回 grid 的乘积矩阵。

示例 1：

输入：grid = $\[1,2$ , $3,4$ ]

输出： $\[24,12$ , $8,6$ ]

解释：p $0$ $0$ = grid $0$ $1$ * grid $1$ $0$ * grid $1$ $1$ = 2 * 3 * 4 = 24

p $0$ $1$ = grid $0$ $0$ * grid $1$ $0$ * grid $1$ $1$ = 1 * 3 * 4 = 12

p $1$ $0$ = grid $0$ $0$ * grid $0$ $1$ * grid $1$ $1$ = 1 * 2 * 4 = 8

p $1$ $1$ = grid $0$ $0$ * grid $0$ $1$ * grid $1$ $0$ = 1 * 2 * 3 = 6

所以答案是 $\[24,12$ , $8,6$ ] 。

示例 2：

输入：grid = $\[12345$ , $2$ , $1$ ]

输出： $\[2$ , $0$ , $0$ ]

解释：p $0$ $0$ = grid $0$ $1$ * grid $0$ $2$ = 2 * 1 = 2

p $0$ $1$ = grid $0$ $0$ * grid $0$ $2$ = 12345 * 1 = 12345. 12345 % 12345 = 0 ，所以 p $0$ $1$ = 0

p $0$ $2$ = grid $0$ $0$ * grid $0$ $1$ = 12345 * 2 = 24690. 24690 % 12345 = 0 ，所以 p $0$ $2$ = 0

所以答案是 $\[2$ , $0$ , $0$ ] 。

感悟

原以为和MOD = 1000000007一样，直接使用封装好的此类，发现错误。赛场上时间紧急，来不及分析是两个不同的问题，还是我封装错误。只好使用笨办法。我记得1000000007是质数，才能转除为乘。考虑过12345是否是质数，当时觉判断烦恼，所以没判断。现在觉得很简单：以5结尾，就是5的倍数，不是质数。

分析

前缀和后缀和。第一轮的preRow记录 $0,r) 所有元素的乘积，vLeft\[r$ $c$ 记录本行左边各元素的乘积，vRight $r$ $c$ 记录本行右边各元素的乘积。vRet $r$ $c$ 记录这三个的乘积。第二轮preRow记录 $r+1,m_r)所有元素的乘积。第二轮vRet\[r$ $c$ 乘以preRow就是结果。

测试用例

1	2	3
4	5	6
7	8	9

结果

当前数	前面行的乘积	前面行的乘积	左边乘积	右边乘积
1	1	4...9	1	6
2	1	4...9	1	3
3	1	4...9	2	1
4	6	7...9	1	30
5	6	7...9	4	6
6	6	7...9	20	1
7	1...6	1	1	72
8	1...6	1	7	9
9	1...6	1	56	1

解释

对{4,5,6}而言第一轮preRow是12 3=6，第二轮preRow是789。对4而言，left是1,right是30。对5而言，left是4,right是6。对6而言，left是20,right是1。

时间复杂度

O(n^2) 2轮，每轮2层循环，每层循环是O(n)。

代码

class Solution {

public:

vector<vector> constructProductMatrix(vector<vector>& grid) {

m_r = grid.size();

m_c = grid.front().size();

//vLeft记录当前行，左边的成绩

vector<vector> vLeft(m_r, vector(m_c)), vRight(m_r, vector(m_c)), vRet(m_r, vector(m_c));

int iPreRow = 1;

for (int r = 0; r < m_r; r++)

{

int pre = 1;

for (int c = 0; c < m_c; c++)

{

vLeft $r$ $c$ = pre;

MulSelf(pre, grid $r$ $c$ );

}

pre = 1;

for (int c = m_c-1 ; c >= 0 ; c-- )

{

vRight $r$ $c$ = pre;

MulSelf(pre, grid $r$ $c$ );

}

for (int c = 0; c < m_c; c++)

{

vRet $r$ $c$ = 1;

MulSelf(vRet $r$ $c$ , iPreRow);

MulSelf(vRet $r$ $c$ , vLeft $r$ $c$ );

MulSelf(vRet $r$ $c$ , vRight $r$ $c$ );

}

MulSelf(iPreRow, pre);

}

iPreRow = 1;

for (int r = m_r-1; r >= 0 ; r-- )

{

int pre = 1;

for (int c = 0; c < m_c; c++)

{

MulSelf(vRet $r$ $c$ , iPreRow);

MulSelf(pre, grid $r$ $c$ );

}

MulSelf(iPreRow, pre);

}

return vRet;

}

void MulSelf(int& self, int other)

{

const int MOD = 12345;

self = ((long long)self * other) % MOD;

}

int m_r, m_c;

};

一维化降低复杂度

分析

vLeft $r$ $c$ 记录 [0,r)行所有元素及r行[0,c)列元素的乘积，第二轮的pre记录(r,m_c)行所有元素及r行（c,m_c)列元素的乘积。

vLeft $1$ $1$ = 12 34 第二轮的pre = 9 876

代码

class Solution {

public:

vector<vector> constructProductMatrix(vector<vector>& grid) {

m_r = grid.size();

m_c = grid.front().size();

vector < vector> vLeft(m_r, vector(m_c));

int pre = 1;

for (int r = 0; r < m_r; r++)

{

for (int c = 0; c < m_c; c++)

{

vLeft $r$ $c$ = pre;

MulSelf(pre, grid $r$ $c$ );

}

vector<vector> vRet(m_r, vector(m_c));

pre = 1;

for (int r = m_r-1 ; r >= 0 ;r--)

{

for (int c = m_c-1 ; c >= 0 ; c-- )

{

const int index = m_c * r + c;

vRet $r$ $c$ = pre;

MulSelf(vRet $r$ $c$ , vLeft $r$ $c$ );

MulSelf(pre, grid $r$ $c$ );

}

return vRet;

}

void MulSelf(int& self, int other)

{

const int MOD = 12345;

self = ((long long)self * other) % MOD;

}

int m_r, m_c;

};

测试用例

template

void Assert(const vector& v1, const vector& v2)

{

if (v1.size() != v2.size())

{

assert(false);

return;

}

for (int i = 0; i < v1.size(); i++)

{

assert(v1 $i$ == v2 $i$ );

}

template

void Assert(const T& t1, const T& t2)

{

assert(t1 == t2);

}

int main()

{

vector<vector>grid = { {1,2,3},{4,5,6} };

vector<vector> ans = { {720,360,240},{180,144,120} };

auto res = Solution().constructProductMatrix(grid);

Assert(res, ans);

grid = { {1,2,},{3,4},{5,6 }};

ans = { {720,360},{240,180},{144,120} };

res = Solution().constructProductMatrix(grid);

Assert(res, ans);

grid = { { 1,2,3,4,5,6 } };

ans = { { 720,360,240,180,144,120} };

res = Solution().constructProductMatrix(grid);

Assert(res, ans);

grid = { { 1},{2},{3},{4},{5},{6} };

ans = { { 720},{360},{240},{180},{144},{120} };

res = Solution().constructProductMatrix(grid);

Assert(res, ans);

CConsole::Out(res);

}

其它

视频课程

要是你认为本篇难道较大，不好入手，推荐你先学习基础算法的课程，我已完成部分，余下部分持续更新中，就在CSDN学院。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

博主想队大家说的话
墨家名称的来源：有所得以墨记之。
闻缺陷则喜的来由：早发现，早修改问题，成本更低
程序是龙，算法是睛

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