前缀和
代码模板
bash
一维前缀和模板
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
二维前缀和模板
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]例题一
题目
输入一个长度为 
的整数序列。
接下来再输入 
个询问，每个询问输入一对 
。
对于每个询问，输出原序列中从第 
个数到第 
个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 和 。
第二行包含 个整数，表示整数数列。
接下来 行，每行包含两个整数 和 ，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
,
,
数列中元素的值
输入样例
bash
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4输出样例
bash
3
6
10代码示例
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
s[i] = s[i - 1] + a[i];
}
int l, r;
while(m--){
cin >> l >> r;
cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
}
return 0;
}例题二
题目
输入一个 行 列的整数矩阵，再输入 
个询问，每个询问包含四个整数 
, 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
第一行包含三个整数 
。
接下来 行，每行包含 个整数，表示整数矩阵。
接下来 行，每行包含四个整数 表示一组询问。
输出格式
共 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
，
，
，
，
矩阵元素的值
输入样例
cpp
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4输出样例
cpp
17
27
21代码示例
cpp
#include<iostream>
#include<stack>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int m, n, q;
int s[N][N];
int main() {
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> s[i][j];
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
}
}
int x1, y1, x2, y2;
while (q--) {
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
cout << s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
}
}差分
代码模板
bash
一维差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c例题一
题目
输入一个长度为 的整数序列。
接下来输入 个操作，每个操作包含三个整数 
，表示将序列中 
之间的每个数加上
。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数 和 。
第二行包含 个整数，表示整数序列。
接下来 行，每行包含三个整数 表示一个操作。
输出格式
共一行，包含 个整数，表示最终序列。
数据范围
,
,
，
数列中元素的值
输入样例
cpp
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1输出样例
cpp
3 4 5 3 4 2代码示例
cpp
#include<iostream>
#include<stack>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 100010;
int a[N], b[N];
void insert(int l, int r, int c) {
b[l] += c;
b[r + 1] -= c;
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
insert(i, i, a[i]);
}
while (m--) {
int l, r, c;
cin >> l >> r >> c;
insert(l, r, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) cout << b[i] << " ";
return 0;
}例题二
题目
输入一个 行 列的整数矩阵，再输入 个操作，每个操作包含五个整数 
， 其中 
和 
表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 。
接下来 行，每行包含 个整数，表示整数矩阵。
接下来 行，每行包含 5 个整数 表示一个操作。
输出格式
共 行，每行 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
，
，
，
，
，
矩阵元素的值
输入样例
cpp
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1输出样例
cpp
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2代码示例
cpp
#include<iostream>
#include<stack>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
b[x1][y1] += c;
b[x2 + 1][y1] -= c;
b[x1][y2 + 1] -= c;
b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main() {
cin.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
int n, m, q;
cin >> n >> m >> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
cin >> a[i][j];
insert(i, j, i, j, a[i][j]);
}
}
while (q--) {
int x1, y1, x2, y2, c;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
insert(x1, y1, x2, y2, c);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1];
cout << b[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}