EGF中多项式exp的组合意义
EGF一般用来处理多重集的排列问题，在其上可以定义多项式的exp运算，在处理一类问题的时候有独特的作用
我们考虑将n个有标号的元素分为k个非空 无序集合的方案数，记其EGF为 F k F_{k} Fk,再考虑 f i f_i fi表示在这个我们定义的集合中对集合元素的计数方式（也就是考虑元素在集合内的排列方式的个数，这是一个只跟集合大小有关的值），那么根据生成函数的定义，我们不难得到下式
F k ( n ) = n ! k ! ∑ ∑ i = 1 k a i = n ∏ j = 1 k f a j a j ! F_{k}(n)=\frac{n!}{k!}\sum_{\sum_{i=1}^{k}a_i=n}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}}{a_j!} Fk(n)=k!n!∑∑i=1kai=n∏j=1kaj!faj，最后除以 k ! k! k!是因为这k个集合是无序的，而原本的多个多项式卷积显然是有序的
现在我们记 F ( x ) ^ = ∑ i = 0 i n f f i x i i ! \hat{F(x)}=\sum_{i=0}^{inf}f_i\frac{x^i}{i!} F(x)^=∑i=0inffii!xi,也就是原本的 f i f_i fi的EGF
再记 G k ( x ) G_k(x) Gk(x)为 F k ( n ) F_k(n) Fk(n)的EGF，则有
G k ( x ) = ∑ n = 0 i n f F k ( n ) x n n ! G_k(x)=\sum_{n=0}^{inf}F_k(n)\frac{x^n}{n!} Gk(x)=∑n=0infFk(n)n!xn
= ∑ n = 0 i n f n ! k ! ( ∑ ∑ i = 1 k a i = n ∏ j = 1 k f a j a j ! ) x n n ! =\sum_{n=0}^{inf}\frac{n!}{k!}(\sum_{\sum_{i=1}^{k}a_i=n}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}}{a_j!})\frac{x^n}{n!} =∑n=0infk!n!(∑∑i=1kai=n∏j=1kaj!faj)n!xn
= 1 k ! ∑ n = 0 i n f ( ∑ ∑ i = 1 k a i = n ∏ j = 1 k f a j x a j a j ! ) =\frac{1}{k!}\sum_{n=0}^{inf}(\sum_{\sum_{i=1}^{k}a_i=n}\prod_{j=1}^{k}\frac{f_{a_j}x^{a_j}}{a_j!}) =k!1∑n=0inf(∑∑i=1kai=n∏j=1kaj!fajxaj)
= 1 k ! ( F ( x ) ^ ) k =\frac{1}{k!}(\hat{F(x)})^k =k!1(F(x)^)k
如果我们考虑所有 k ≥ 0 k\geq 0 k≥0,就有
∑ k ≥ 0 G k ( x ) = ∑ k ≥ 0 ( F ( x ) ^ ) k k ! = e x p F ( x ) ^ \sum_{k\geq 0}G_k(x)=\sum_{k\geq 0}\frac{(\hat{F(x)})^k}{k!}=exp\hat{F(x)} ∑k≥0Gk(x)=∑k≥0k!(F(x)^)k=expF(x)^
我们惊奇地发现， G ( x ) G(x) G(x)的指数生成函数居然就是 f x f_x fx的生成函数的exp！
总结一下，多项式exp的组合意义就是：有标号元素构成的集合划分为任意个非空子集的总方案数。
来几个具体的例子
考虑大小为n的排列的个数是 n ! n! n!,其指数生成函数是 P ( x ) = ∑ n ≥ 0 n ! x n n ! = ∑ n ≥ 0 x n = 1 1 − x P(x)=\sum_{n\geq 0}\frac{n!x^n}{n!}=\sum_{n\geq 0}x^n=\frac{1}{1-x} P(x)=∑n≥0n!n!xn=∑n≥0xn=1−x1
一个大小为n的圆排列个数是 ( n − 1 ) ! (n-1)! (n−1)!,其指数生成函数是 G ( x ) = ∑ n ≥ 1 ( n − 1 ) ! x n n ! = ∑ n ≥ 1 x n n = − ln ( 1 − x ) = l n ( 1 1 − x ) G(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(n-1)!x^n}{n!}=\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)=ln(\frac{1}{1-x}) G(x)=∑n≥1n!(n−1)!xn=∑n≥1nxn=−ln(1−x)=ln(1−x1)
不难发现 P ( x ) = e x p G ( x ) P(x)=expG(x) P(x)=expG(x)
仔细理解一下，众所周知，一个大小为n的排列一定可以拆成若干个环，每一个环内部的排列数就是一个圆排列的方案数，所以大小为n的排列的方案数就是把 1 , 2... n 1,2...n 1,2...n分成若干个非空集合，每一个集合的圆排列方案数之积，这与我们上面讲到的exp的组合意义相符合
未完待续