2698. 求一个整数的惩罚数 : 简单递归运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 2698. 求一个整数的惩罚数 ，难度为中等。

Tag : 「递归」、「模拟」、「打表」

给你一个正整数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n，请你返回 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 的惩罚数。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 的惩罚数定义为所有满足以下条件 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 的数的平方和：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = i < = n 1 <= i <= n </math>1<=i<=n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i × i i \times i </math>i×i 的十进制表示的字符串可以分割成若干连续子字符串，且这些子字符串对应的整数值之和等于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 。

示例 1：

ini 复制代码

输入：n = 10

输出：182

解释：总共有 3 个整数 i 满足要求：
- 1 ，因为 1 * 1 = 1
- 9 ，因为 9 * 9 = 81 ，且 81 可以分割成 8 + 1 。
- 10 ，因为 10 * 10 = 100 ，且 100 可以分割成 10 + 0 。
因此，10 的惩罚数为 1 + 81 + 100 = 182

示例 2：

ini 复制代码

输入：n = 37

输出：1478

解释：总共有 4 个整数 i 满足要求：
- 1 ，因为 1 * 1 = 1
- 9 ，因为 9 * 9 = 81 ，且 81 可以分割成 8 + 1 。
- 10 ，因为 10 * 10 = 100 ，且 100 可以分割成 10 + 0 。
- 36 ，因为 36 * 36 = 1296 ，且 1296 可以分割成 1 + 29 + 6 。
因此，37 的惩罚数为 1 + 81 + 100 + 1296 = 1478

提示：

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = n < = 1000 1 <= n <= 1000 </math>1<=n<=1000

递归

一个朴素的做法是遍历 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 , i ] [1, i] </math>[1,i]，若当前数值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 满足要求，则将 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i × i i \times i </math>i×i 累加到答案中。

问题关键转为：如何判定 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i × i i \times i </math>i×i 是否能够分割成多个整数，使其累加值为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i。

简单做法是通过递归来做：每次从当前值的低位开始截取，通过「取余」和「地板除」操作，得到截取部分和剩余部分，再继续递归处理。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    public int punishmentNumber(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (check(i * i, i)) ans += i * i;
        }
        return ans;
    }
    boolean check(int t, int x) {
        if (t == x) return true;
        int d = 10;
        while (t >= d && t % d <= x) {
            if (check(t / d, x - (t % d))) return true;
            d *= 10;
        }
        return false;
    }
}

Python 代码：

Python 复制代码

class Solution:
    def punishmentNumber(self, n: int) -> int:
        def check(t, x):
            if t == x:
                return True
            d = 10
            while t >= d and t % d <= x:
                if check(t // d, x - (t % d)):
                    return True
                d *= 10
            return False
        return sum([i * i if check(i * i, i) else 0 for i in range(1, n + 1)])

C++ 代码：

C++ 复制代码

class Solution {
public:
    bool check(int t, int x) {
        if (t == x) return true;
        int d = 10;
        while (t >= d && t % d <= x) {
            if (check(t / d, x - (t % d))) return true;
            d *= 10;
        }
        return false;
    }
    int punishmentNumber(int n) {
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (check(i * i, i)) ans += i * i;
        }
        return ans;
    }
};

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function punishmentNumber(n: number): number {
    function check(t: number, x: number): boolean {
        if (t === x) return true;
        let d = 10;
        while (t >= d && t % d <= x) {
            if (check(Math.floor(t / d), x - (t % d))) return true;
            d *= 10;
        }
        return false;
    }
    let ans = 0;
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        if (check(i * i, i)) ans += i * i;
    }
    return ans;
};

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n log ⁡ n 2 ) O(n \log{n^2}) </math>O(nlogn2)
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( log ⁡ n 2 ) O(\log{n^2}) </math>O(logn2)

打表

更进一步，对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 , x ] [1, x] </math>[1,x] 范围内的惩罚数必然包含了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ 1 , y ] [1, y] </math>[1,y]（其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y < x y < x </math>y<x）中的惩罚数。

即多个样例之间必然存在重复计算，我们可通过「打表」进行预处理：定义 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ i ] f[i] </math>f[i] 为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n = i n = i </math>n=i 时的答案（惩罚数），对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ i ] f[i] </math>f[i] 而言，起始为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ i − 1 ] f[i - 1] </math>f[i−1]，若数值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i i </math>i 本身满足要求，则将 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> i × i i \times i </math>i×i 累加到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ i ] f[i] </math>f[i] 当中。

Java 代码：

Java 复制代码

class Solution {
    static int[] f = new int[1010];
    static {
        for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
            f[i] = f[i - 1];
            if (check(i * i, i)) f[i] += i * i;
        }
    }
    static boolean check(int t, int x) {
        if (t == x) return true;
        int d = 10;
        while (t >= d && t % d <= x) {
            if (check(t / d, x - (t % d))) return true;
            d *= 10;
        }
        return false;
    }
    public int punishmentNumber(int n) {
        return f[n];
    }
}

Python 代码：

Python 复制代码

def check(t, x):
    if t == x:
        return True
    d = 10
    while t >= d and t % d <= x:
        if check(t // d, x - (t % d)):
            return True
        d *= 10
    return False
f = [0] * 1010
for i in range(1, 1010):
    f[i] = f[i - 1] + (i * i if check(i * i, i) else 0)
class Solution:
    def punishmentNumber(self, n: int) -> int:
        return f[n]

C++ 代码：

C++ 复制代码

inline bool check(int t, int x) {
    if (t == x) return true;
    int d = 10;
    while (t >= d && t % d <= x) {
        if (check(t / d, x - (t % d))) return true;
        d *= 10;
    }
    return false;
}
int f[1010];
int _ = []() {
    for (int i = 1; i < 1010; i++) {
        f[i] = f[i - 1];
        if (check(i * i, i)) f[i] += i * i;
    }
    return 0;
}();
class Solution {
public:
    int punishmentNumber(int n) {
        return f[n];
    }
};

TypeScript 代码：

TypeScript 复制代码

function check(t: number, x: number): boolean {
    if (t === x) return true;
    let d = 10;
    while (t >= d && t % d <= x) {
        if (check(Math.floor(t / d), x - (t % d))) return true;
        d *= 10;
    }
    return false;
}
const f = new Array(1010).fill(0);
for (let i = 1; i < 1010; i++) {
    f[i] = f[i - 1];
    if (check(i * i, i)) f[i] += i * i;
}
function punishmentNumber(n: number): number {
    return f[n];
};

时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( 1 ) O(1) </math>O(1)
空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( C ) O(C) </math>O(C)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> C = 1000 C = 1000 </math>C=1000

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2698 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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