前言
微分法也有它的逆运算------积分法。我们已经知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数。
不定积分
假设已知函数A,一个个关于面积的函数.如下图所示
则会发现 f ( x ) f(x) f(x)就是我们 A A A的导数
- 微分 d A = f ( x ) d x dA = f(x)dx dA=f(x)dx
- 导数 d A d x = f ( x ) = A ′ ( x ) \frac{dA}{dx}=f(x) = A'(x) dxdA=f(x)=A′(x)
原函数的定义
不定积分的定义
不定积分与原函数的关系
不定积分表示的就是原函数的全体。
不定积分的性质
不定积分的基本公式
如以下例子,利用性质一与基础公式二,四求证出来
求原函数主要利用四大不定积分积分法
- 第一类换元-凑微分
- 第二类换元，一般是三角函数
- 有理函数-（这里要看是真分式or假分式）
- 分部积分-（ e x e^x ex等"反对幂指三"）
定积分
接着上述不定积分例子.函数A是一面试函数.则其导数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_0 x0的取值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)则可以称为瞬时面积.瞬时面积比较捌扭,我们举个瞬时速度的例子
再回到面积的例子,我们要求 [ a , b ] [a,b] [a,b]两点的面积.则可表示
S = A ( b ) − A ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x S= A(b)-A(a)=\int_a^b f(x)dx S=A(b)−A(a)=∫abf(x)dx
以上就是"牛顿-莱布尼茨公式",再从极限角度去看另一个例子,求由抛物线f(x)=x²与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积S。
根据上面不定积分的公式,求出原函数A
A = ∫ x 2 d x = x 3 3 A=\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} A=∫x2dx=3x3
面积 S = A ( 1 ) − A ( 0 ) = 1 3 S=A(1)-A(0)=\frac{1}{3} S=A(1)−A(0)=31
给出定积分的一般概念
定积分性质
其它性质参考:《不定积分与定积分》
定积分的计算
除了牛顿-莱布尼茨公式还有其它公式计算定积分
主要参考
《不定积分与定积分》
《怎样理解定积分》