最近兴趣使然，又重新对傅立叶变换燃起了了兴趣。虽然在20年前上大学的课本中《信号与系统》或者《通信原理》学习过，不过这么多年过去了，公式的推导早就忘光了。于是在之乎看了一篇文章讲傅立叶变换推导详解，讲得挺好的，似乎也看懂了，哈哈。（文章参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/77345128），但对文章里提到的公式2.16 ：
∫0Tsin2(nωt)dt=(T)2 \int_0^T \sin^2(n\omega t) dt = \dfrac{(T)}{2}∫0Tsin2(nωt)dt=2(T)
上面的公式是如何推导出来的没有提及。本着刨根问底的心态，不搞明白不罢休，年过40的我又激发了斗志，于是我想搞明白这个公式的推导过程，我估计对于在校的大学生来说，这个应该挺简单的，但对于我这样一个把高等数学丢了快20年的小本科来说，真的是有点难。下面记录一下我的公式推导学习过程：
文章里的公式（2.16）形式上看着有点唬人，我们首先来个形式简单点的，比如计算： ∫0Tsin2(x)dx\int_0^T \sin^2(x) dx∫0Tsin2(x)dx ，其中：
- (T) 是积分上限（实数），
- (x) 是弧度（标准三角函数单位）
∫0Tsin2(x)dx\int_0^T \sin^2(x) dx∫0Tsin2(x)dx 的推导过程及积分结果
推导过程
要计算∫0Tsin2(x)dx\int_0^T \sin^2(x) dx∫0Tsin2(x)dx ，首先使用三角恒等式简化被积函数，然后应用基本积分规则。以下是详细步骤：
应用三角恒等式简化：
利用恒等式 sin2(x)=1−cos(2x)2\sin^2(x) = \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}sin2(x)=21−cos(2x)（此恒等式由双角公式 cos(2x)=1−2sin2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) cos(2x)=1−2sin2(x)变形得到）。
代入被积函数：
∫0Tsin2(x)dx=∫0T1−cos(2x)2dx \\int_0\^T \\sin\^2(x) dx = \\int_0\^T \\frac{1 - \\cos(2x)}{2} dx ∫0Tsin2(x)dx=∫0T21−cos(2x)dx
拆分积分并提取常数因子：
将积分拆分为两部分，并提取常数 12\frac{1}{2}21，于是有下面计算公式：
∫0T1−cos(2x)2dx=12∫0T(1−cos(2x))dx=12(∫0T1dx−∫0Tcos(2x)dx)\\int_0\^T \\frac{1 - \\cos(2x)}{2} dx= \\frac{1}{2} \\int_0\^T (1 - \\cos(2x)) dx = \\frac{1}{2} \\left( \\int_0\^T 1 dx - \\int_0\^T \\cos(2x) dx \\right)∫0T21−cos(2x)dx=21∫0T(1−cos(2x))dx=21(∫0T1dx−∫0Tcos(2x)dx)
计算第一部分积分 ∫0T1dx\int_0^T 1 dx∫0T1dx：
这是基本积分,利用牛顿-莱布尼茨公式得到：
∫0T1dx=x∣0T=T−0=T\\int_0\^T 1 dx = x \\Big\|_0\^T = T - 0 = T∫0T1dx=x 0T=T−0=T
计算第二部分积分
∫0Tcos(2x)dx\int_0^T \cos(2x) dx∫0Tcos(2x)dx：
使用代换法（令 (u = 2x)，则 (du = 2 dx)，即 dx=du2dx = \frac{du}{2}dx=2du：
- 积分限变换：当 (x = 0) 时，(u = 0)；当 (x = T) 时，(u = 2T)。
- 代入：
∫0Tcos(2x)dx=∫02Tcos(u)⋅du2=12∫02Tcos(u)du\\int_0\^T \\cos(2x) dx = \\int_0\^{2T} \\cos(u) \\cdot \\frac{du}{2} = \\frac{1}{2} \\int_0\^{2T} \\cos(u) du∫0Tcos(2x)dx=∫02Tcos(u)⋅2du=21∫02Tcos(u)du
- 计算积分：∫cos(u)du=sin(u)\int \cos(u) du = \sin(u)∫cos(u)du=sin(u)，代入上下限：
12\[sin(u)\]02T=12(sin(2T)−sin(0)) \\frac{1}{2} \\left\[ \\sin(u) \\right\]_0\^{2T} = \\frac{1}{2} \\left( \\sin(2T) - \\sin(0) \\right)21\[sin(u)\]02T=21(sin(2T)−sin(0))
- 由于 (sin(0)=0\sin(0) = 0sin(0)=0)，简化得：
12sin(2T)\\frac{1}{2} \\sin(2T)21sin(2T)
合并结果：
将步骤 3 和 4 的结果代入步骤 2：
∫0Tsin2(x)dx=12(T−12sin(2T)) \\int_0\^T \\sin\^2(x) dx = \\frac{1}{2} \\left( T - \\frac{1}{2} \\sin(2T) \\right)∫0Tsin2(x)dx=21(T−21sin(2T))
简化表达式：
=T2−sin(2T)4 = \\frac{T}{2} - \\frac{\\sin(2T)}{4}=2T−4sin(2T)
积分结果
∫0Tsin2(x)dx=T2−sin(2T)4 \int_0^T \sin^2(x) dx= \frac{T}{2} - \frac{\sin(2T)}{4}∫0Tsin2(x)dx=2T−4sin(2T)
或者利用 (sin(2T)=2sin(T)cos(T)\sin(2T) = 2 \sin(T) \cos(T)sin(2T)=2sin(T)cos(T))，
∫0Tsin2(x)dx=T2−sin(2T)4=T2−sin(T)cos(T)2\int_0^T \sin^2(x) dx= \frac{T}{2} - \frac{\sin(2T)}{4}=\frac{T}{2} - \frac{\sin(T) \cos(T)}{2}∫0Tsin2(x)dx=2T−4sin(2T)=2T−2sin(T)cos(T)
结果分析
- 一般形式 ：结果依赖于 (T)，包含一个线性项和一个周期项：
- T2\dfrac{T}{2}2T：表示 sin2(x)\sin^2(x)sin2(x) 的平均值贡献（因为 sin2(x)\sin^2(x)sin2(x) 在一个周期内的平均值为 12\frac{1}{2}21。
- −sin(2T)4-\dfrac{\sin(2T)}{4}−4sin(2T)：振荡项，由 cos(2x)\cos(2x)cos(2x) 的积分产生，振幅为 14\frac{1}{4}41。
- 特殊值验证 ：
- 若 T=πT = \piT=π：
∫0πsin2(x)dx=π2−sin(2π)4=π2−0=π2\\int_0\^\\pi \\sin\^2(x) dx = \\frac{\\pi}{2} - \\frac{\\sin(2\\pi)}{4} = \\frac{\\pi}{2} - 0 = \\frac{\\pi}{2}∫0πsin2(x)dx=2π−4sin(2π)=2π−0=2π
（正确，因为 sin2(x)sin^2(x)sin2(x) 在 ([0,π][0, \pi][0,π]) 对称，面积为正半周期积分）。 - 若 (T=2πT = 2\piT=2π)：
∫02πsin2(x)dx=2π2−sin(4π)4=π−0=π\\int_0\^{2\\pi} \\sin\^2(x) dx = \\frac{2\\pi}{2} - \\frac{\\sin(4\\pi)}{4} = \\pi - 0 = \\pi∫02πsin2(x)dx=22π−4sin(4π)=π−0=π
（正确，因为 (sin2(x)\sin^2(x)sin2(x)) 的周期为 (π\piπ)，在 ([0,2π][0, 2\pi][0,2π]) 内有两个完整周期，每个周期积分为 (π2\frac{\pi}{2}2π)，总和为 (π\piπ)）。
- 若 T=πT = \piT=π：
- 周期性 ：当 (T=kπT = k\piT=kπ)（(k) 为整数）时，(sin(2T)=sin(2kπ)=0\sin(2T) = \sin(2k\pi) = 0sin(2T)=sin(2kπ)=0)，积分简化为 (T2\dfrac{T}{2}2T)。
- 几何解释 ：积分表示 (sin2(x)\sin^2(x)sin2(x)) 曲线与 (x) 轴在 ([0, T]) 内所围成的面积（有向面积之和）。
下面开始计算我们的目标公式了：
计算∫0Tsin2(nωt)dt\int_0^T \sin^2(n\omega t) dt∫0Tsin2(nωt)dt：
令 x=nωt x = n\omega tx=nωt , 则∫0Tsin2(nωt)dt=∫0nωTsin2(x)dxnω=nωT2−sin(2nωT)4nω \int_0^T \sin^2(n\omega t) dt = \dfrac{\int_0^{n\omega T} \sin^2(x)dx}{n\omega} =\frac{\frac{n \omega T}{2} - \frac{sin(2n\omega T)}{4} } {n\omega}∫0Tsin2(nωt)dt=nω∫0nωTsin2(x)dx=nω2nωT−4sin(2nωT)
公式消除nωn\omeganω，得到 T2−sin(2nωT)4nω\frac{T}{2}-\frac{sin(2n\omega T)}{4n\omega}2T−4nωsin(2nωT)
我们知道正弦波的频率 f=ω2πf=\frac{\omega}{2\pi}f=2πω，于是得到周期公式：
T=2πωT = \dfrac {2 \pi} {\omega} T=ω2π
于是代入周期公式，得到：
∫0Tsin2(nωt)dt=T2−sin(2nωT)4nω=T2−sin(4nπ)4nω=T2\int_0^T \sin^2(n\omega t) dt = \frac{T}{2}-\frac{sin(2n\omega T)}{4n\omega} =\frac{T}{2} - \frac{sin(4n\pi)}{4n\omega} = \frac{T}{2}∫0Tsin2(nωt)dt=2T−4nωsin(2nωT)=2T−4nωsin(4nπ)=2T