2. 数列极限
数列极限是整个微积分的核心。它的思想贯穿整个微积分之中。
数列极限是最基本的、最核心的、最重要的、最难的。
2.1 数列
【定义】无限排列的一列数 a 1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots a1,a2,⋯,an,⋯就称为数列 ，记作 { a n } \{a_n\} {an}，称 a n a_n an为数列的通项 。
【定义】 y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x\in\boldsymbol{D} y=f(x),x∈D，特别地 D = { 1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ } = N \boldsymbol{D}=\{1,2,3,\cdots,n,\cdots\}=\mathbb{N} D={1,2,3,⋯,n,⋯}=N， y = f ( x ) , x ∈ N y=f(x),x\in\mathbb{N} y=f(x),x∈N，改写为 y = f ( n ) , n ∈ N y=f(n),n\in\mathbb{N} y=f(n),n∈N（自变量取正整函数， n : 1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ n:1,2,3,\cdots,n,\cdots n:1,2,3,⋯,n,⋯， f ( n ) : f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , ⋯ , f ( n ) , ⋯ f(n):f(1),f(2),f(3),\cdots,f(n),\cdots f(n):f(1),f(2),f(3),⋯,f(n),⋯），由于自变量 n n n可以按照自然数的顺序排成无限列，相应地，它的函数值也可以拍成无限列， f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , ⋯ , f ( n ) , ⋯ f(1),f(2),f(3),\cdots,f(n),\cdots f(1),f(2),f(3),⋯,f(n),⋯就称为数列 ，记作 { f ( n ) } \{f(n)\} {f(n)}， f ( n ) f(n) f(n)就称为数列的通项 。
【注】设 f ( n ) = a n f(n)=a_n f(n)=an，两种定义都是对的，无非就是形式不同，即数列 a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n , ⋯ a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots a1,a2,a3,⋯,an,⋯.
庄子说：一尺之棰，日取之半，万世不竭。（一尺长的棒子，每条取剩下的一半，这样下去，永远取不完），即
天数为 n : 1 , 2 , 3 , ⋯ , n , ⋯ n:1,2,3,\cdots,n,\cdots n:1,2,3,⋯,n,⋯，
手中棒子的长度 1 2 , 1 2 2 , 1 2 3 , ⋯ , 1 2 n , ⋯ \frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots,\frac{1}{2^n},\cdots 21,221,231,⋯,2n1,⋯
趋势：极限为 0 0 0.
【例】 1 , 1 2 , 1 3 , ⋯ , 1 n , ⋯ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{n},\cdots 1,21,31,⋯,n1,⋯
画数轴，随着 n n n无限增大，这个项与0越来越无限接近。
【例】 1 , − 1 2 , 1 3 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 n , ⋯ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{(-1)^{n-1}}{n},\cdots 1,−21,31,⋯,n(−1)n−1,⋯
随着 n n n无限增大，围绕着 0 0 0两侧"跳来跳去"，极限为0
【例】 { 1 + ( − 1 ) n − 1 n } \{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}\} {1+n(−1)n−1}的极限为1，并不是说极限都为0.
【例】 { n } \{n\} {n}没有趋势（无穷大，无穷大不是数，所以称作没有趋势），也就是没有极限。
【例】 1 , − 1 , 1 , − 1 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 , ⋯ 1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots 1,−1,1,−1,⋯,(−1)n−1,⋯随着 n n n无限增大，它不能与某个常数无限接近，它也是没有极限的。
因此我们只关心有趋势，也就是一个数列有极限，也就是随着 n n n增大，数列的项与某个常数 a a a无限地接近。
2.2 数列极限
【定义（定性分析）】设 { a n } \{a_n\} {an}是一个给定的数列， a a a是一个确定的常数，随着 n n n无限增大，数列的项 a n a_n an与 a a a无限地接近，称数列 { a n } \{a_n\} {an}的极限为 a a a，记作 lim n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a n→∞liman=a或 a n → a ( n → ∞ ) a_n\to a(n\to\infty) an→a(n→∞).
寻找用数学表达式给的定义，随着 n n n无限增大， ∣ a n − a ∣ |a_n-a| ∣an−a∣与 0 0 0无限地接近。 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0使得 ∣ a n − a ∣ < ε |a_n-a|<\varepsilon ∣an−a∣<ε（你小我比你还小），找到一个自然数 N N N，当 n > N n>N n>N都有 ∣ a n − a ∣ < ε |a_n-a|<\varepsilon ∣an−a∣<ε.
2.2.1 数列极限的定义
【定义】设 { a n } \{a_n\} {an}是一个给定的数列， a a a是一个确定的常数，若 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0，相应地 ∃ \exists ∃自然数 N N N，当 n > N n>N n>N时，都有 ∣ a n − a ∣ < ε |a_n-a|<\varepsilon ∣an−a∣<ε，称数列 { a n } \{a_n\} {an}的极限是 a a a，记作 lim n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a n→∞liman=a或 a n → a ( n → ∞ ) a_n\to a(n\to\infty) an→a(n→∞).
【例】 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 + ⋯ 1-1+1-1+\cdots+(-1)^{n-1}+\cdots 1−1+1−1+⋯+(−1)n−1+⋯，求和。
【错解】 ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ⋯ + ( 1 − 1 ) + ⋯ = 0 (1-1)+(1-1)+\cdots+(1-1)+\cdots=0 (1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)+⋯=0， 1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ⋯ + ( − 1 + 1 ) + ⋯ = 1 1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots+(-1+1)+\cdots=1 1+(−1+1)+(−1+1)+⋯+(−1+1)+⋯=1
不能随便这样加括号（结合律），有限个数相加有结合律，无限个数相加不一定有结合律，其实这个是一个级数。
【例】 1 , − 1 , 1 , − 1 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 , ⋯ 1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots 1,−1,1,−1,⋯,(−1)n−1,⋯（不能取 n n n大于偶数项，奇数项，极限是唯一的，不可能 1 1 1是它的极限， − 1 -1 −1也是它的极限）
对定义更进一步理解：
- 定义中的 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0，从形式上， ε \varepsilon ε指的是一切正数，限制 0 < ε < 1 0<\varepsilon<1 0<ε<1也可以（因为它仍然包含着0的右边的小区间，可以做到任意小的正数），但是不能限制 ε > \varepsilon> ε>某个正数（这就没法衡量无限地接近，比如 1 , − 1 , 1 , − 1 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 , ⋯ 1,-1,1,-1,\cdots,(-1)^{n-1},\cdots 1,−1,1,−1,⋯,(−1)n−1,⋯这个数列，当 ε > 2 \varepsilon>2 ε>2时， ∣ a n − 1 ∣ < 2 < ε |a_n-1|<2<\varepsilon ∣an−1∣<2<ε，但是这不能说明1就是它的极限）， ε \varepsilon ε有时候也可以换成 ε 2 , ε \varepsilon ^ 2,\sqrt{\varepsilon} ε2,ε （ ε > 0 , ε 2 > 0 , ε > 0 \varepsilon>0,\varepsilon^2 >0,\sqrt{\varepsilon}>0 ε>0,ε2>0,ε >0，只要满足大于0的正数就行），但是 ε \varepsilon ε不能换成 ε + 1 \varepsilon +1 ε+1，因为 ε + 1 > 1 \varepsilon+1>1 ε+1>1了， ∣ a n − a ∣ < ε |a_n-a|<\varepsilon ∣an−a∣<ε也可以改成 ∣ a n − a ∣ ⩽ ε |a_n-a|\leqslant \varepsilon ∣an−a∣⩽ε.
- N N N的相应性，先有 ε \varepsilon ε，后有 N N N，再确定 N N N，使得 n > N n>N n>N时，都有 ∣ a n − a ∣ < ε |a_n-a|<\varepsilon ∣an−a∣<ε成立，也可以取 N + 1 , N + 2 , ⋯ N+1,N+2,\cdots N+1,N+2,⋯作为新的 N N N更能成立。甚至 n > N n>N n>N可以改写 n ⩾ N n\geqslant N n⩾N， N N N也可以不是自然数，它只是一个下标的界限，假如 n > 3.5 n>3.5 n>3.5，说明 n n n从4开始也成立。
- 几何意义： lim n → ∞ a n = a \lim\limits_{n\to\infty}a_n=a n→∞liman=a即 ∀ ε > 0 , ∃ N \forall \varepsilon>0,\exists N ∀ε>0,∃N，当 n > N n>N n>N时都有 ∣ a n − a ∣ < ε ⇔ − ε < a n − a < ε ⇔ a − ε < a n < a + ε ⇔ a n ∈ ( a − ε , a + ε ) ≜ U ( a , ε ) |a_n-a|<\varepsilon\Leftrightarrow -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon\Leftrightarrow a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon\Leftrightarrow a_n\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\triangleq U(a,\varepsilon) ∣an−a∣<ε⇔−ε<an−a<ε⇔a−ε<an<a+ε⇔an∈(a−ε,a+ε)≜U(a,ε)【注1与注2】
U ( a , ε ) U(a,\varepsilon) U(a,ε)的外部只有有限项，其余项都在此邻域中，并且有无限项。
也就是对于 a a a的任何 ε \varepsilon ε邻域 U ( a , ε ) U(a,\varepsilon) U(a,ε)在外部仅有数列的有限项，其余的项的统统在邻域内。如果这个邻域的半径取的越小，外面的项越多，再多也是有限项，其余的项统统在这个邻域内。
【注1】邻域与去心邻域
【定义】对区间我们常引入下面的记号，开区间 ( x 0 − δ , x 0 + δ ) = def U ( x 0 , δ ) ( δ > 0 ) \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \xlongequal{\text { def }} U\left(x_{0}, \delta\right)(\delta>0) (x0−δ,x0+δ) def U(x0,δ)(δ>0)称为以 x 0 x_0 x0为中心，以 δ \delta δ为半径的++邻域++ ，简称为++x 0 x_0 x0的 δ \delta δ邻域++ 。若不需要指明半径 δ \delta δ时，记作 U ( x 0 ) U(x_0) U(x0)，称为 x 0 x_0 x0的++某邻域++ 。邻域一般是一个以 x 0 x_0 x0点为对称点的对称区间，如下图所示：
【定义】 ( x 0 − δ , x 0 ) ∪ ( x 0 , x 0 + δ ) = def U ∘ ( x 0 , δ ) \left(x_{0}-\delta, x_{0}\right) \cup\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right) \xlongequal{\text { def }} \stackrel{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right) (x0−δ,x0)∪(x0,x0+δ) def U∘(x0,δ)称为以 x 0 x_0 x0为中心，以 δ \delta δ为半径的++去心邻域++ （也叫++空心邻域++ ），简称为++x 0 x_0 x0的 δ \delta δ去心邻域++ （空心邻域）。若不需要指明半径 δ \delta δ时，记作 U ∘ ( x 0 ) \stackrel{\circ}{U}(x_0) U∘(x0)，称为 x 0 x_0 x0的某++去心邻域++ （++空心邻域++ ）。去心邻域顾名思义是在邻域的基础上去掉对称中心 x 0 x_0 x0的区间，如下图所示：
2.2.2 分析法
【例】证明 x > e x>e x>e时， x 2 − 3 x + 2 > 0 x^2-3x+2>0 x2−3x+2>0
（使用分析法）
要证B成立，只要证A成立，指的是 A ⇒ B A\Rightarrow B A⇒B，反之不一定。即A成立是B成立的充分条件。
【证】要证 x 2 − 3 x + 2 > 0 x^2-3x+2>0 x2−3x+2>0成立
只要证 ( x − 1 ) ( x − 2 ) > 0 (x-1)(x-2)>0 (x−1)(x−2)>0成立
只要证 x < 1 x<1 x<1或 x > 2 x>2 x>2成立
由 x > e ⇒ x > 2 ⇒ x 2 − 3 x + 2 > 0 x>e\Rightarrow x>2\Rightarrow x^2-3x+2>0 x>e⇒x>2⇒x2−3x+2>0.