当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
希望这些想法对大家的做题有一定的启发和借鉴意义。
让我们来看看MathorCup的B题！
问题重述
这是一个电商零售商家需求预测及库存优化问题的描述。这个问题涉及到电商平台上的上千个商家，它们将商品放在不同的仓库中，而电商平台需要进行供应链管理，以降低库存成本并保证按时交货。主要问题包括需求预测和库存优化。
问题一：使用历史出货量数据（附件1）和相关附件中的信息，需要预测各商家在各仓库的商品在2023年5月16日至2023年5月30日的需求量。预测的结果需要填写在结果表1，并上传至竞赛平台。同时，需要对模型的预测性能进行评价，并讨论如何对这些时间序列进行分类以找到相似特征。
问题二：有一些新的商家+仓库+商品维度出现（附件5），需要根据历史数据（附件1）找到相似序列并预测这些新维度在2023年5月16日至2023年5月30日的需求量。预测结果需要填写在结果表2，并上传至竞赛平台。
问题三：每年6月有大型促销，给需求预测和履约带来挑战。附件6提供了去年双十一期间的需求量数据，需要参考这些数据并给出2023年6月1日至2023年6月20日的需求量预测值，填写在结果表3中并上传至竞赛平台。
问题一
问题一涉及对各商家在各仓库的商品需求进行预测，此题我们使用ARIMA模型来进行预测。
步骤1：数据预处理
首先，对历史出货量数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理等，以确保数据的质量和一致性。对附件2-4的信息也进行必要的数据关联，以便使用商品、商家和仓库的特征信息。
步骤2：时间序列分类
根据问题描述，需要对不同商家、仓库和商品的时间序列进行分类，以找到相似的特征。这可以通过以下步骤来实现：
a. 对每个商家在各仓库的商品需求量序列进行聚类分析，例如使用K均值聚类。
b. 对聚类后的序列进行统计特征提取，如平均值、标准差、季节性等。
c. 基于提取的特征，使用聚类结果将序列分为不同的类别。
步骤3：需求预测
对于每个时间序列类别，使用ARIMA模型进行需求预测。
步骤4：模型评价
评估模型的性能可以使用各种指标，如1-wmape，MAE，RMSE等。1-wmape在问题描述中已经给出，可以计算每个序列的预测误差并汇总为模型整体性能。
ARIMA模型
- ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种经典的时间序列分析方法，用于对时间序列数据进行建模和预测。它结合了自回归（AR）、差分（I）和滑动平均（MA）三个组成部分，用于处理具有趋势和季节性的时间序列数据。ARIMA模型旨在捕捉数据中的自相关性和移动平均性，从而生成未来时间点的预测。
下面是ARIMA模型的核心概念：
-
自回归（AR）部分：ARIMA模型中的"AR"代表"自回归"。这部分考虑了时间序列中的自相关性，即过去时间点的观测值对当前时间点的影响。AR部分表示为p，它表示在模型中考虑多少期的过去观测值。例如，ARIMA(p, d, q)中的p。
-
差分（I）部分：ARIMA模型中的"I"代表"差分"。这部分用于处理非稳定的时间序列，即具有趋势和季节性的序列。通过差分，可以将非稳定序列转化为稳定的序列。d表示差分的次数。例如，ARIMA(p, d, q)中的d。
-
滑动平均（MA）部分：ARIMA模型中的"MA"代表"滑动平均"。这部分考虑了时间序列中的滑动平均性，即过去时间点的预测误差对当前时间点的影响。MA部分表示为q，它表示在模型中考虑多少期的滑动平均误差。例如，ARIMA(p, d, q)中的q。
ARIMA模型的建模步骤通常包括以下几个关键步骤：
-
观察时间序列数据：首先，分析时间序列数据，检查是否存在趋势、季节性以及自相关性。
-
差分操作：如果时间序列数据不是稳定的，需要进行差分操作，直到数据变得稳定。差分的次数由参数d决定。
-
模型识别：通过观察自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的图表，确定ARIMA模型的阶数（p、d、q）。
-
拟合ARIMA模型：使用选定的参数，拟合ARIMA模型到时间序列数据。
-
模型诊断：检查模型的残差，确保其是白噪声，没有自相关性。
-
预测：使用拟合好的ARIMA模型生成未来时间点的预测。
在问题一中，使用ARIMA模型的主要原因是针对历史出货量数据进行需求预测。原因在于：
-
存在趋势和季节性：ARIMA模型适用于具有趋势和季节性的时间序列数据，这在电商领域通常是普遍存在的情况。历史出货量数据往往受季节性促销、市场趋势等因素的影响，因此需要模型来捕捉这些影响。
-
稳定性处理：ARIMA模型中的"差分"（I）部分用于将非稳定的时间序列数据转化为稳定的序列。这对于处理数据中的趋势和季节性非常重要，以便模型能够准确预测未来需求。
-
自相关性和滑动平均性：ARIMA模型的"自回归"（AR）和"滑动平均"（MA）部分分别考虑了时间序列数据中的自相关性和滑动平均性，从而更好地捕捉数据的内在模式。
-
参数调整：ARIMA模型的参数（p、d、q）可以根据时间序列数据的特点进行调整，以获得更准确的预测。这使得ARIMA模型非常灵活，适应不同类型的时间序列。
因为它可以帮助预测各商家在各仓库的商品需求，考虑了历史趋势、季节性和自相关性，有助于更好地管理库存和满足客户需求。此外，ARIMA模型的参数可以根据不同商家、仓库和商品的需求模式进行调整，从而提高预测的准确性。
代码如下：
python
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# 读取历史出货量数据
historical_data = pd.read_csv('附件1.csv')
# 假设历史数据按日期升序排列
historical_data['date'] = pd.to_datetime(historical_data['date'])
# 定义检测时间序列稳定性的函数
def test_stationarity(timeseries):
# 进行滚动统计检验（Rolling Statistics）
rolmean = timeseries.rolling(window=30).mean() # 选择合适的窗口大小
rolstd = timeseries.rolling(window=30).std()
# 绘制滚动统计检验结果
orig = plt.plot(timeseries, color='blue', label='原始数据')
mean = plt.plot(rolmean, color='red', label='滚动均值')
std = plt.plot(rolstd, color='black', label='滚动标准差')
plt.legend(loc='best')
plt.title('滚动均值和滚动标准差')
plt.show()
# 进行Dicky-Fuller检验
print('Dicky-Fuller检验结果：')
dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')
dfoutput = pd.Series(dftest[0:4], index=['Test Statistic', 'p-value', '#Lags Used', 'Number of Observations Used'])
for key, value in dftest[4].items():
dfoutput['Critical Value (%s)' % key] = value
print(dfoutput)
# 做时间序列稳定性检验
test_stationarity(historical_data['qty'])
# 进行时间序列差分以达到稳定性
# 通常需要多次差分，直到时间序列变得稳定
differenced_data = historical_data['qty'].diff().dropna()
# 再次进行稳定性检验
test_stationarity(differenced_data)
# 使用ARIMA模型进行预测
model = sm.tsa.ARIMA(historical_data['qty'], order=(1, 1, 1)) # 选择合适的ARIMA参数
results = model.fit()
# 输出模型的统计摘要
print(results.summary())问题二
问题二要求针对新出现的商家+仓库+商品维度进行需求预测，这些维度在历史数据中没有出现过。建模思路可以分为以下几个步骤：
步骤1：数据准备
- 首先，需要识别出历史数据中不存在的商家+仓库+商品维度。这些新维度可能代表新上市的商品或改变了商品存放的仓库。
步骤2：相似序列查找
-
针对每个新出现的商家+仓库+商品维度，需要查找历史数据中与之相似的时间序列。相似性可以通过多种方式来衡量，如时间序列模式、统计特征等。以下是一种计算相似性的思路：
a. 对于每个新维度，计算其与历史数据中所有商家+仓库+商品维度的相似性分数。这可以使用各种距离度量方法（如欧氏距离、相关系数等）来计算。
b. 选择与新维度相似性得分最高的一组历史时间序列。这组历史序列将被用作预测新维度的参考。
步骤3：需求预测
- 使用选定的相似历史序列，可以应用相同的需求预测模型（例如，ARIMA、加权移动平均或其他时间序列模型）来预测新维度的需求。预测的时间段为2023-05-16至2023-05-30。
步骤4：结果记录
- 将预测结果填写在结果表2中，并上传至竞赛平台。
公式表示：
-
相似性计算（可以使用欧氏距离作为相似性度量的一个示例）：
欧氏距离公式：
Distance ( X , Y ) = ∑ i = 1 n ( X i − Y i ) 2 \text{Distance}(X, Y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (X_i - Y_i)^2} Distance(X,Y)=i=1∑n(Xi−Yi)2
其中，X 和 Y是两个时间序列， X i X_i Xi和 Y i Y_i Yi分别是它们的对应时间点的值，(n) 是时间序列长度。
-
需求预测：
对于新维度，使用选定的相似历史序列中的模型（如ARIMA）进行需求预测。
这个建模思路允许你根据历史数据中的相似性来预测新维度的需求，而不需要依赖完全没有历史数据的新维度。因此，你可以根据相似性找到最合适的历史数据，并基于这些历史数据来进行需求预测。
其中，(X) 和 (Y) 是两个时间序列， X i X_i Xi 和 Y i Y_i Yi分别是它们的对应时间点的值，(n) 是时间序列长度。
-
需求预测：
对于新维度，使用选定的相似历史序列中的模型（如ARIMA）进行需求预测。
Demand Forecast ( X ) = Model ( X similar ) \text{Demand Forecast}(X) = \text{Model}(X_{\text{similar}}) Demand Forecast(X)=Model(Xsimilar)代码：
python
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.spatial.distance import euclidean
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
# 读取历史数据、新维度数据
historical_data = pd.read_csv('附件1.csv')
new_dimension_data = pd.read_csv('附件5.csv')
# 存储新维度的预测结果
result_table_2 = pd.DataFrame(columns=['seller_no', 'warehouse_no', 'product_no', 'date', 'predicted_demand'])
# 针对每个新维度进行需求预测
for index, new_dimension_row in new_dimension_data.iterrows():
# 获取新维度的商家、仓库、商品信息
seller = new_dimension_row['seller_no']
warehouse = new_dimension_row['warehouse_no']
product = new_dimension_row['product_no']
# 查找与新维度相似的历史数据，使用欧氏距离进行相似性计算
historical_data['similarity'] = historical_data.apply(
lambda row: euclidean([row['seller_no'], row['warehouse_no'], row['product_no']],
[seller, warehouse, product]),
axis=1
)
# 选择相似性得分最高的历史序列
most_similar_row = historical_data.loc[historical_data['similarity'].idxmin()]
# 获取历史相似序列的需求历史数据
historical_demand = most_similar_row['qty'].values
# 使用ARIMA模型进行需求预测
# 这里需要根据你的数据和需求进一步调整ARIMA模型的参数
arima_model = ARIMA(historical_demand, order=(5,1,0)) # 举例使用ARIMA(5,1,0)
arima_fit = arima_model.fit(disp=0)
# 预测新维度的需求
forecast = arima_fit.forecast(steps=15) # 预测未来15天的需求
# 构建预测结果并添加到结果表2
forecast_dates = pd.date_range(start='2023-05-16', end='2023-05-30')
forecast_data = pd.DataFrame({问题三
问题三要求预测商家+仓库+商品维度在2023-06-01至2023-06-20期间的需求，考虑到大型促销对需求的影响。以下是问题三的建模思路：
步骤1：数据准备
- 读取历史数据，包括商家+仓库+商品维度在去年双十一期间的需求量数据（附件）。
步骤2：特定日期范围的历史数据选择
- 从历史数据中筛选出与目标日期范围（2023-06-01至2023-06-20）相对应的数据，这些数据将用于建模。
步骤3：需求预测
- 使用时间序列模型（如ARIMA）或其他适当的模型，对商家+仓库+商品维度在目标日期范围内的需求进行预测。需要考虑大型促销对需求的影响，可以将促销期视为外部变量。
步骤4：结果记录
- 将预测结果填写在结果表3中，并上传至竞赛平台。
以下是一些公式示例，用于表示ARIMA模型中的差分（用于稳定性处理）和需求预测：
差分（Differencing）：
差分用于将非稳定的时间序列数据转化为稳定的序列，以便ARIMA模型能够准确预测。差分一次通常表示将时间序列减去其前一时刻的值。
差分公式：
Difference ( Y t ) = Y t − Y t − 1 \text{Difference}(Y_t) = Y_t - Y_{t-1} Difference(Yt)=Yt−Yt−1
需求预测：
需求预测可以使用ARIMA模型中的预测方法。具体的预测公式取决于ARIMA模型的参数和历史数据的性质。
ARIMA模型的预测公式：
Y ^ t + h = μ + ∑ i = 1 p ϕ i Y t + h − i − ∑ j = 1 q θ j Y ^ t + h − j \hat{Y}{t+h} = \mu + \sum{i=1}^{p} \phi_i Y_{t+h-i} - \sum_{j=1}^{q} \theta_j \hat{Y}_{t+h-j} Y^t+h=μ+i=1∑pϕiYt+h−i−j=1∑qθjY^t+h−j
其中， Y ^ t + h \hat{Y}_{t+h} Y^t+h表示在时间 t + h t+h t+h 的预测值， μ \mu μ 是模型的均值，(p) 和 (q) 是ARIMA模型的阶数， ϕ i \phi_i ϕi 和 θ j \theta_j θj 是模型的参数。
python
import pandas as pd
import numpy as np
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA
# 读取历史数据（附件6）
historical_data = pd.read_csv('附件6.csv')
# 存储预测结果
result_table_3 = pd.DataFrame(columns=['seller_no', 'warehouse_no', 'product_no', 'date', 'predicted_demand'])
# 针对每个商家+仓库+商品维度进行需求预测
for index, row in historical_data.iterrows():
seller = row['seller_no']
warehouse = row['warehouse_no']
product = row['product_no']
# 获取历史需求数据，以便建立ARIMA模型
historical_demand = row['qty'].values
# 使用ARIMA模型进行需求预测
# 这里需要根据你的数据和需求进一步调整ARIMA模型的参数
arima_model = ARIMA(historical_demand, order=(5,1,0)) # 举例使用ARIMA(5,1,0)
arima_fit = arima_model.fit(disp=0)
# 预测2023-06-01至2023-06-20的需求
forecast_dates = pd.date_range(start='2023-06-01', end='2023-06-20')
forecast = arima_fit.forecast(steps=len(forecast_dates))
# 构建预测结果并添加到结果表3
forecast_data = pd.DataFrame({
'seller_no': [seller] * len(forecast_dates),
'warehouse_no': [warehouse] * len(forecast_dates),
'product_no': [product] * len(forecast_dates),
'date': forecast_dates,
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2023年第四届MathorCup大数据挑战赛（B题）