数据结构:优先级队列(堆)

概念

优先级队列是啥?

队列是一种先进先出 (FIFO) 的数据结构 ,但有些情况下, 操作的数据可能带有优先级,一般出队
列时,可能需要优先级高的元素先出队列。
在这种情况下, 数据结构应该提供两个最基本的操作,一个是返回最高优先级对象,一个是添加新的对象 。这种数据结构就是优先级队列 (Priority Queue)

堆是啥?

优先级队列的底层运用到堆这种数据结构

堆的特点:总是一棵完全二叉树

大根堆:

每一棵树的根结点总是比左右子节点大

小根堆:

每一棵树的根结点的值总是比左右子节点小,不考虑左右子节点谁大谁小

堆的存储

存储方式采用层序遍历的方式把二叉树的元素一一放到数组里面

那数组可不可以存储非完全二叉树呢?答案是可以的,但是会有空间浪费的情况

像上面右边图,4的位置没有存储元素,这就是一种空间浪费

来手搓一个堆

回顾一下二叉树里面性质的第五点

如何将普通数组转换成堆

把下面数组的元素画成堆

先画成一棵普通的二叉树

画成大根堆

28<37,互换。最左边子树49>25>18,把49变成该树的根结点,最右边的树65>34>19,也进行交换

调整第二层的树,49>15>37,49作为根,而15<18<25,下方的树得把25变成根

最上面一层的树,65>49>27,65做根结点,而27<34,所以34还得作为该子树的根结点

这就是一个大根堆了

总结:

1.从最后一棵子树开始调整

2.在要变换的树里面,从左右孩子里面找到最大的与根结点比较,大了就进行互换

3.如果能够知道子树根结点下标,那么下一棵子树就是当前根结点下标-1

4.一直调整到0下标这个树为止

先写个初步的代码

java 复制代码
public class TestHeap {
    private int[] elem;

    public int usedSize;//记录当前堆当中有效的数据个数

    public TestHeap(){
        this.elem = new int[10];
    }

    //存储数组
    public void initElem(int[] array){
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
    }

问题

1.最后一棵子树根结点下标是多少

因为i = len-1,所以根结点index = (i-1)/2

java 复制代码
    public void createHeap(){
        //usedSize-1相当于最后一棵树孩子结点的下标i,再-1是为了求父结点
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0; parent--) {
            siftDown(parent,usedSize);
        }
    }

2.每棵子树调整完之后,结束的位置怎么定?也就是我要从哪里开始调整下一棵子树?

我们采用向下调整的方法(注意,虽然我们是从最后一颗树往根结点方向调整,但是每一棵树的处理我们还是采用从父结点到子节点的调整方法。为什么用不向上调整?后面我会说到。)

找到最后一个元素置为c,其根结点为p

调整完后不知道下面还有没有元素要调整,所以c还得往下走

此时c的坐标是19 > 10了,所以可以停止了

java 复制代码
    private void siftDown(int parent, int len){
        int child = 2 * parent + 1;
        while(child < len){
            //左右孩子比较大小
            if(elem[child] < elem[child + 1]){
                child = child + 1;
            }
            //走完上面的if,证明child下标一定是左右两个孩子最大值的下标

        }
    }

现在问题来了,写到这里会发生数组越界,如果我的child移到9下标这里,那这个if判断elem[child] < elem[child+1] 这里的child+1 = 10 = usedSize,而这棵树根本就没有10这个下标,造成了越界

修改一下代码

java 复制代码
            if(child+1<len && elem[child] < elem[child + 1]){
                child = child + 1;
            }

后面就是比较孩子和父结点的代码了

java 复制代码
   /**
     * 向下调整
     * @param parent
     * @param len
     */
    private void siftDown(int parent, int len){
        int child = 2 * parent + 1;
        while(child < len){
            //左右孩子比较大小
            if(child+1<len && elem[child] < elem[child + 1]){
                child = child + 1;
            }
            //走完上面的if,证明child下标一定是左右两个孩子最大值的下标
            if(elem[child] > elem[parent]){
                int tmp = elem[child];
                elem[child] = elem[parent];
                elem[parent] = tmp;
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            }else{
                break;//不用比不用调了
            }
        }
    }

测试一下,没有问题😊

怎么计算这个堆的时间复杂度?

考虑最坏情况,就是满二叉树的情况

首先明确一点,最后一层结点时不进行调整的,一般是从倒数第二层结点开始调整的

设树的高度是h

T(N) = (h-1)*2^0+(h-2)*2^1+(h-3)*2^2+......+2*2^(h-3)+1*2^(h-2)

怎么求这个等式?采用错位相减

根据等比求和公式

T(n) = 2 ^ h - 1 - h

因为n=2^h-1 --> h = log(n+1)

代进去T(n) = n - log(n+1)

因为log(n+1)的图长这样,n越大越趋于一个常数

所以整个等式占支配地位的还得是n,所以T(N) ≈ n -->时间复杂度:O(N)


堆的插入

如果插入的数值比较小

如果插入的数值比较大,那就得一层一层进行调整

这种调整叫做向上调整

java 复制代码
    public void swap(int i, int j){
        int tmp = elem[i];
        elem[i] = elem[j];
        elem[j] = tmp;
    }
    public void push(int val){
        if(isFull()){
            elem = Arrays.copyOf(elem, 2*elem.length);
        }
        elem[usedSize] = val;
        //向上调整
        siftUp(usedSize);
        usedSize++;
    }
    //判断满不满
    public boolean isFull(){
        return usedSize == elem.length;
    }
    public void siftUp(int child){
        int parent = (child - 1) / 2;
        while(child>0){
            if(elem[child] > elem[parent]){
                swap(child,parent);
                child = parent;
                parent = (child - 1) / 2;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

在测试里面把80push进去,没有问题😊

堆的插入的时间复杂度

因为最坏情况插入的元素是最大的,那这个元素最多也就向上调整到根节点的位置,也就是h

复杂度就是O(logN)

欸那为什么不用向上调整来建堆呢?😐

我们分析一下,拿这棵满二叉树来说,最底层有8个元素,已经占了一半了,网上建堆得每个元素都遍历一遍,时间复杂度太大了

堆的删除

因为堆的删除一定是删除优先级最高的值,所以一定是删除大根堆的根结点

比如这个,我们要做的就是删除65

第一步:把65(0下标)与28(最后一个元素)进行交换

第二步:向下调整0下标

java 复制代码
    public int pop(){
        if(empty()){
            throw new EmptyException("数组空了!");
        }
        int oldVal = elem[0];
        swap(0,usedSize-1);
        usedSize--;
        siftDown(0,usedSize);
        return oldVal;
    }

    public boolean empty(){
        return usedSize == 0;
    }

测试一下,没有问题😊

习题:

选A(可以自己画图,反正就是层序遍历画树)

选C

总共比较3次,左边那个15的原本就是小根堆,所以就不用比较

选C

PriorityQueue

Java集合框架提供了PriorityQueue的优先级队列

注意事项:

java 复制代码
        PriorityQueue<Student> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue1.offer(new Student("zhangsan",10));
        priorityQueue1.offer(new Student("lisi",12));

1.PriorityQueue放入的元素必须能比较大小,否则会报出下面的错误

2.不能插入null对象,否则会报出下面的错误

java 复制代码
        PriorityQueue<Student> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue1.offer(null);

3.没有容量限制,可以插入任意多个元素,内部会自动扩容

4.插入和删除都是O(logn)

5.使用了最小堆的数据结构,所以每次获取的元素都是最小的元素

oj练习

面试题 17.14. 最小K个数 - 力扣(LeetCode)

设计一个算法,找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。

示例:

复制代码
输入: arr = [1,3,5,7,2,4,6,8], k = 4
输出: [1,2,3,4]

提示:

  • 0 <= len(arr) <= 100000
  • 0 <= k <= min(100000, len(arr))

方法一:

建立最小堆,把堆顶k个元素输出出来就行了

代码

java 复制代码
    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();

        //向上调整 O(logN)
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            priorityQueue.offer(array[i]);
        }
        int[] ret = new int[k];
        //k*logN
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

虽然通过了,但是时间复杂度有点大

方法二:

1.建立大根堆,大小为k,比如我们可以拿前三个元素来建一个大根堆

2.从第k+1个元素开始比较,如果比堆顶元素小,则入堆。当前的堆顶元素(较大的)就舍弃掉,因为已经不符合我对前k个最小的元素的要求了

遍历完整个大根堆长这样

问题来了,PriorityQueue是默认采用小根堆的底层,那我们要怎么让它采用大根堆呢

PriorityQueue源码里面的有一个compare函数

这个函数外层是compareTo函数

这两个函数结合一下,把小的放在前面,大的放在后面,所以实现了小根堆的底层

我们可以重写PriorityQueue里面的compare函数,把大的放在前面

java 复制代码
class Imp implements Comparator<Integer>{
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o2.compareTo(o1);
    }
}

整个的代码(上面的重写可以扔到匿名内部类里面)

java 复制代码
    public static int[] smallestK(int[] array, int k) {
        int[] ret = new int[k];
        if(array == null || k <= 0) {
            return ret;
        }
        //匿名内部类
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new Comparator<Integer>() {
            @Override
            public int compare(Integer o1, Integer o2) {
                return o2.compareTo(o1);
            }
        });

        //1、建立大小为k的大根堆 O(K*logK)
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            priorityQueue.offer(array[i]);
        }

        //2、遍历剩下的元素 (N-K)*logK
        // (K*logK) + N*logK  - K*logK   =   N*logK  -->时间复杂度
        for (int i = k; i < array.length; i++) {
            int top = priorityQueue.peek();//27
            if(array[i] < top) {
                priorityQueue.poll();
                priorityQueue.offer(array[i]);
            }
        }
        //下面这个不能算topK的复杂度 这个地方是整理数据
        //k*logK
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret[i] = priorityQueue.poll();
        }
        return ret;
    }

别看力扣上面的通过时间,我们要自行分析时间复杂度


堆排序

把这个数组从小到大排序,需要建立大根堆

再把这棵树放到堆底,这样最大的元素就有序了

再按照大根堆进行排序(已经有序的元素就不管了),把最大元素49放到堆顶,然后再和堆第的15交换

以此类推,设置一个堆底end,每次拿0下标的元素和它交换,交换完end--

java 复制代码
    public void heapSort(){
        int end = usedSize-1;
        while(end>0){
            swap(0,end);
            siftDown(0,end);
            end--;
        }
    }

时间复杂度O(N*logN)

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