【查找算法】哈希查找

本篇文章将介绍一种查找算法------哈希查找。

何为哈希查找？

先看定义：

哈希查找是通过计算数据元素的存储地址进行查找的一种方法。

哈希查找通过给定的哈希函数构造哈希表(也叫散列表)，然后通过计算存储地址进行元素查找。

所以我们先来聊聊散列表。

散列表

散列是一种新的存储方式，它既不是按给定形式顺序存储，也不是毫无规律地进行存储，而是通过计算元素的存储地址实现存储。

计算元素存储地址的基本思想是：记录的存储位置与关键字之间存在对应关系，这个对应关系称为一个hash函数。

举个例子，现有一个数据元素序列，{1,3,5,7,9}，若规定每个元素k的存储地址H(k) = k，则其存储结构如下： 这样的存储方式在查找元素的时候是非常方便的，比如想要查找元素值7，就把7代入hash函数，得到存储地址为7，此时比较下标为7的元素值，若相等，查找成功；或不相等，查找失败。

由此可以发现，哈希查找法的查找效率是非常高的，甚至可以达到O(1)， 但是缺点也很明显，比较浪费存储空间。

冲突

散列表在构造过程中难免会产生一些冲突，何为冲突？

冲突指的是不同的元素值被映射到了同一个散列地址。

举个例子，有一个数据元素序列，{25,21,39,9,23,11}，其hash函数为H(k) = k mod 7，则其存储结构为： 该元素序列中的每个元素求模7，其结果均在0~6之间，先看第一个元素25,因为25 % 7 = 4，所以25存放在下标为4的位置： 因为21 % 7 = 0，所以21存放在下标为0的位置： 因为39 % 7 = 4，按理说39应该存放在下标为4的位置，但你会发现，下标为4的位置已经有元素值了，而你第二次准备存入的元素值又跟其不同，所以冲突便产生了。

这些具有相同函数值的关键字被称为同义词。

构造散列函数

我们说冲突是不同的元素映射到了同一个散列地址，而地址是由hash函数决定，所以想要避免冲突，就需要设计完美的hash函数。

但这是无法实现的，在散列查找方法中，冲突是不可避免的，只能说是尽可能地避免冲突的产生。

为了尽可能减少冲突，hash函数的设计就有一些讲究：

1. 所选函数尽可能简单，以便提高转换速度
2. 所选函数对元素值计算出的地址，应在散列地址中均匀分布，以减少空间浪费

构造hash函数需要考虑的因素有：

• 元素长度
• 散列表的大小
• 元素的分布情况
• 查找频率

这里介绍两种构造hash函数的方式：

1. 直接定址法
2. 除留余数法

直接定址法

先看第一种方式，直接定址法。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> H a s h ( k e y ) = a ∗ k e y + b ( a 、 b 为常数 ) Hash(key) = a * key + b(a、b为常数) </math>Hash(key)=a∗key+b(a、b为常数)

它的优点是：以关键码key的某个线性函数值为散列地址，不会产生冲突。

除留余数法

这种方法较直接定址法更为常用一些。

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> H a s h ( k e y ) = k e y m o d p ( p 为整数 ) Hash(key) = key mod p(p为整数) </math>Hash(key)=keymodp(p为整数)

该方法的关键是如何能够取到合适的p值？

若表长为m，则p应取小于等于m的质数。

解决冲突的方式

前面说过了，冲突是无法避免的，那么在产生冲突时该如何解决如何处理呢？

这里介绍两种常见的方式：

1. 开放地址法
2. 链地址法

开放地址法

开放地址法的基本思想为：有冲突时就去寻找下一个空的散列地址，只要散列表足够大，空的散列地址总能找到，并将数据元素存入。

这下一个散列地址该如何找呢？也可以分为三种方式：

1. 线性探测法：即以线性序列(如1、2、3、...、m - 1)为间隔寻找下一个散列地址
2. 二次探测法：即以二次序列(如1²、-1²、2²、-2²、...、q²)为间隔寻找下一个散列地址
3. 伪随机探测法：即以一个伪随机数为间隔寻找下一个散列地址

举个例子，比如有一个序列{47,7,29,11,16,92,22,8,3}，散列表的表长为m = 11，hash函数为Hash(key) = key mod 11，我们试着用线性探测法来解决一下存储过程中的冲突。 现在准备存入元素47，因为47 % 11 = 3，所以将47存放在下标为3的位置： 因为7 % 11 = 7，所以将7存放在下标为7的位置： 因为29 % 11 = 7，所以将29存放在下标为7的位置，但该位置已经有了元素值，且两者不相同，此时产生冲突。现在我们利用线性探测法，即在该位置上加上一个序列值，7 + 1 = 8，所以将其存放到下标为8的位置： 接下来是11、16、92，它们在存放过程中均没有产生冲突，直接存入即可： 下一个元素是22,因为22 % 11 = 0，而下标0的位置已经有了元素值，所以采用线性探测法，在此位置的基础上加上一个序列值，0 + 1 = 1，所以将其存放到下标为1的位置： 元素8也是如此，它应该存放到下标为9的位置： 最后看元素3，因为3 % 11 = 3，所以存放位置应为下标3，但下标3位置已有元素，于是采用线性探测法，加上一个序列值，3 + 1 = 4，但下标4的位置仍然有元素，那就加第二个序列值，3 + 2 = 5，下标5的位置还是有元素，那就再加第三个序列值，3 + 3 = 6，直至找到空的散列地址。

此时下标为6的位置是空的，所以存入元素3： 查找过程也是一样的，比如11，让其与11求模，余数为0，所以到下标为0的位置找出元素值比较，相等则查找成功；

或者8，让其与11求模，余数为8，所以到下标为8的位置找出元素值比较，发现不相等，根据线性探测法，你就需要到下一个序列值对应的位置查找，也就是下标9，此时元素值相等，查找成功。

还有两种方式，二次探测法和伪随机探测法，原理是一样的，无非就是地址间隔不一样，就不重复讲解了。

链地址法

第二种处理冲突的方法就是链地址法。

其基本思想为：相同散列地址的记录链成一个单链表，m个散列地址就有m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。

比如一个元素序列{19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79}，其hash函数为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> H a s h ( k e y ) = k e y m o d 13 Hash(key) = key mod 13 </math>Hash(key)=keymod13

这里面很多元素就会产生冲突，比如元素14、1、27、79求模13的结果都是1，所以我们可以将这些同义词链成一个单链表，然后存储在数组中对应的位置，其函数结果为1，就将单链表的表头指针存储在数组下标为1的位置。 其建立散列表的方式也非常简单：

1. 取数据元素的关键字key，计算其散列函数值。若该地址对应的链表为空，则将该元素插入此链表，否则执行步骤2解决冲突
2. 根据选择的冲突解决方案，计算关键字key的下一个存储地址。若该地址对应的链表不为空，则利用链表的前插法或后插法将该元素插入到此链表中

查找效率分析

若使用平均查找长度ASL来衡量查找算法，ASL取决于：

• hash函数
• 处理冲突的方法
• 散列表的装填因子α

其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> α = 表中填入的记录数 哈希表的长度 α = \frac{表中填入的记录数}{哈希表的长度} </math>α=哈希表的长度表中填入的记录数

α越大，表中记录数越多，说明表装得越满，发生冲突的可能性就越大，查找时比较次数就越多；反之，相反。

所以哈希查找的效率只是理论上能达到O(1)，根据解决冲突的方式不同，查找效率也有所不同：

• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A S L ≈ 1 + α 2 ASL ≈ 1 + \frac{α}{2} </math>ASL≈1+2α (链地址法)
• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A S L ≈ 1 2 ( 1 + 1 1 − α ) ASL ≈ \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{1 - α}) </math>ASL≈21(1+1−α1) (线性探测法)
• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> A S L ≈ − 1 α I n ( 1 − α ) ASL ≈ -\frac{1}{α}In(1 - α) </math>ASL≈−α1In(1−α) (随机探测法)