07 MIT线性代数-求解Ax=0:主变量,特解 pivot variables, special solutions

前面定义了矩阵的列空间和零空间,那么如何求得这些子空间呢?

1. 计算零空间 Nullspace

A 的零空间即满足Ax =0 的所有x构成的向量空间

对于矩阵A 进行"行操作"并不会改变Ax =b的解,因此也不会改变零空间 unchanged

第一步消元:

echelon 阶梯型 pivot columns and free columns

++rank of A = # of pivots r=2 = # of pivot variables++

++n-r = 4-2 =# of free variables++

2. 特解 Special solutions

当我们将系数矩阵变换为上三角阵U 时,就可以用回代求得方程Ux =0的解--x1, x3可以通过回代得到 UX=0

对自由变量(free variable)x2和x4我们可以进行赋值

例如令x2=1而x4=0

可得一解

x=

取自由变量中x2=0而x4=1

可得到另一解

x=

矩阵A的零空间就是这些"特解" special solution 向量的线性组合所构成的向量空间

x=c+d which is a line

n-r=特解的数目=零空间的维数

3. 行最简阶梯矩阵 Reduced row echelon form (rref)

rref(A)

notice that = I is in pivot rows/cols

在矩阵中主元行和主元列的交汇处存在一个单位阵。通过"列交换",可以将矩阵R 中的主元列集中在左侧,从而在左上角形成这个单位阵,而将自由列集中在矩阵的右侧。如果矩阵A 中的某些行是线性相关的,则在矩阵R 的下半部分就会出现一些完全为0的行向量

rref form

nullspace matrix ( columns = special solutions)

RN=0

Xpivot=-FXfree

eg.

相关推荐
极小狐6 分钟前
极狐GitLab 如何 cherry-pick 变更?
人工智能·git·机器学习·gitlab
沛沛老爹10 分钟前
从线性到非线性:简单聊聊神经网络的常见三大激活函数
人工智能·深度学习·神经网络·激活函数·relu·sigmoid·tanh
0x21119 分钟前
[论文阅读]ReAct: Synergizing Reasoning and Acting in Language Models
人工智能·语言模型·自然语言处理
mucheni30 分钟前
迅为iTOP-RK3576开发板/核心板6TOPS超强算力NPU适用于ARM PC、边缘计算、个人移动互联网设备及其他多媒体产品
arm开发·人工智能·边缘计算
Jamence31 分钟前
多模态大语言模型arxiv论文略读(三十六)
人工智能·语言模型·自然语言处理
猿饵块43 分钟前
opencv--图像变换
人工智能·opencv·计算机视觉
LucianaiB1 小时前
【金仓数据库征文】_AI 赋能数据库运维:金仓KES的智能化未来
运维·数据库·人工智能·金仓数据库 2025 征文·数据库平替用金仓
jndingxin1 小时前
OpenCV 图形API(63)图像结构分析和形状描述符------计算图像中非零像素的边界框函数boundingRect()
人工智能·opencv·计算机视觉
旧故新长1 小时前
支持Function Call的本地ollama模型对比评测-》开发代理agent
人工智能·深度学习·机器学习
微学AI1 小时前
融合注意力机制和BiGRU的电力领域发电量预测项目研究,并给出相关代码
人工智能·深度学习·自然语言处理·注意力机制·bigru