【Leetcode】120.三角形最小路径和

一、题目

1、题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是下标与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例1：

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输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例2：

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输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-10⁴ <= triangle $i$ $j$ <= 10⁴

进阶：

你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

2、基础框架

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {

    }
};

3、原题链接

120.三角形最小路径和

二、解题报告

1、思路分析

动态规划 + 空间优化。

动态规划的经典题目，堪称入门题。

(i,j) 位置看成一个状态，定义 dp[i][j] 表示从 (i,j) 位置出发得到的最小路径和。在(i,j) 位置有两种决策：向左下走到 (i+1,j) 位置，后续从 (i+1,j) 位置出发得到最小路径和；同理，向右下走到(i+1,j+1) 位置，后续从 (i+1,j+1) 位置出发得到最小路径和。

所以可以得到转移方程：
d p $i$ $j$ = t r i a n g l e $i$ $j$ + m i n ( d p $i + 1$ $j$ , d p $i + 1$ $j + 1$ ) dp $i$ $j$ = triangle $i$ $j$ + min(dp $i+1$ $j$ , dp $i+1$ $j+1$ ) dp $i$ $j$ =triangle $i$ $j$ +min(dp $i+1$ $j$ ,dp $i+1$ $j+1$ )

也就是说，(i,j) 位置的状态依赖于 (i+1,j) 和 (i+1, j+1) 位置的状态，于是逆序枚举 i。见代码详解中的"动态规划"写法。

又(i,j) 位置的状态只依赖于 (i+1,j) 和 (i+1, j+1) 位置的状态，所以用一维数组即可。代码见"动态规划 + 空间优化"写法。

2、时间复杂度

O ( N 2 ) O(N^2) O(N2)

3、代码详解

动态规划

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();

        int dp[n][n];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[n - 1][j] = triangle[n - 1][j]; //最后一行的状态
        }

        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { //逆序枚举
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = triangle[i][j] + min(dp[i + 1][j], dp[i+1][j+1]);
            }
        }

        return dp[0][0];
    }
};

动态规划 + 空间优化

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n = triangle.size();

        int dp[n];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[j] = triangle[n - 1][j]; //最后一行的状态
        }

        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { //逆序枚举
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j+1]);
            }
        }

        return dp[0];
    }
};