一、正规方程基本思想
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正规方程是一种通过数学推导来求解线性回归参数的方法，它通过最小化代价函数来找到最优参数。
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代价函数 J(θ) 用于度量模型预测值与实际值之间的误差，通常采用均方误差。
二、步骤
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准备数据集，包括特征矩阵 X 和目标向量 y。特征矩阵通常包括一个全为1的常数列（截距项）。
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定义代价函数 J(θ)，通常采用均方误差。
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推导代价函数 J(θ) 对参数θ的梯度，令梯度为零。
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将梯度为零的方程组转化为矩阵形式：X^T * X * θ = X^T * y。
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求解正规方程，得到最优参数θ：θ = (X^T * X)^(-1) * X^T * y。
三、正规方程的优点
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不需要选择学习率α，一次运算得出最优参数，无需迭代。
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在特征数量较小的情况下非常适用（通常 n < 10000）。
四、正规方程的限制和适用情况
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不适用于非线性模型，仅适用于线性回归。
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如果特征之间存在线性相关性，或者特征数量多于样本数量，正规方程可能不适用。
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对于特征数量大的情况，计算 (X^T * X)^(-1) 的逆矩阵可能会昂贵。
五、选择算法
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根据问题的特点、数据集的大小和特征的独立性来选择使用梯度下降法或正规方程。
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对于小型数据集和特征数量不多的情况，正规方程是一个有效的选择。
六、正规方程在矩阵不可逆时的解决办法
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使用伪逆函数
pinv()：- 在Octave等数值计算工具中，可以使用伪逆函数
pinv()来计算参数θ，即使特征矩阵X^T * X是不可逆的。这是一种弥补不可逆性的方法，它可以提供正确的解。
- 在Octave等数值计算工具中，可以使用伪逆函数
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处理线性相关的特征：
- 当存在线性相关的特征时，如 x1 = (3.28)^2 * x2，矩阵X^T * X可能变得奇异或不可逆。此时，可以考虑去除一个或多个相关特征以减少特征数量，同时保持数据的信息内容。这将使X^T * X更容易求逆。
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特征选择和正则化：
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如果特征数量n太多，而训练样本数量m相对较少，可能会导致X^T * X不可逆。在这种情况下，可以考虑以下方法：
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删除一些不相关或冗余的特征，以降低特征数量。
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使用正则化方法，如Lasso或Ridge回归，来惩罚不必要的特征权重，从而解决不可逆性问题。
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参考资料：