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本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。
考点
通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：
汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。
记忆/考点汇总------按大纲
------一元二次函数 ------【图像→交点】
------【 a x 2 + b x + c = y ax^2+bx+c=y ax2+bx+c=y二次函数核心在于"图像 "：整体可以由： 图像 （形状，上下，交点） ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 抛物线与x轴交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 交点图形】
------【固定做题法：
⟹ \Longrightarrow ⟹ 一看开口方向：（注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论）二次函数，二次方程，二次不等式，抛物线（默认a≠0）；函数，方程，不等式（需要对a是否等于0进行分类讨论）
⟹ \Longrightarrow ⟹ 二看判别式： △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 三看对称轴： x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 四看交点值：顶点坐标： ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。当 △ = b 2 − 4 a c > 0 △=b^2-4ac>0 △=b2−4ac>0时，函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0)，则 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ = △ ∣ a ∣ |M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣M1M2∣=∣x1−x2∣=∣a∣△ 。】
1.三种函数形式 ：
一般式 ： y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)
配方式/顶点式 ： y = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} y=a(x+2ab)2+4a4ac−b2，对称轴为 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab，顶点坐标为 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)
两根式 ： y = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) y=a(x-x_1)(x-x_2) y=a(x−x1)(x−x2)， x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是函数的两个根，对称轴为 x = x 1 + x 2 2 x=\frac{x_1+x_2}{2} x=2x1+x2
2.图像特点 ：
图像形状 ：二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)的图像是一条抛物线。------【图像的全身】
开口方向 ：由a决定，当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。------【图像的嘴巴】
对称轴 ：以 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab为对称轴。------【图像的比例】
顶点坐标 ： ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。------【图像的头部】
y轴截距 ：c，c决定抛物线与y轴交点的位置，影响顶点高度。
定义域 ：一般隐藏在判别式大于等于零中。
最值 ：当a＞0（a＜0）时，有最小（大）值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2，无最大（小）值。------【需验证对称轴是否在定义域内，在则可套用顶点坐标求最值】
单调性 ：当a>0时，抛物线开口向上，函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (−∞,−2ab]上递减，在 [ − b 2 a , + ∞ ) [-\frac{b}{2a},+∞) [−2ab,+∞)上递增，当 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab时， f ( x ) m i n = 4 a c − b 2 4 a f(x){min}=\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)min=4a4ac−b2；当 a ＜ 0 a＜0 a＜0时，抛物线开口向下，函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (−∞,−2ab]上递增，在 [ − b 2 a , + ∞ ) [-\frac{b}{2a},+∞) [−2ab,+∞)上递减，当 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab时， f ( x ) m a x = 4 a c − b 2 4 a f(x){max}=\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)max=4a4ac−b2。------【】
交点图像 ：当 △ = b 2 − 4 a c > 0 △=b^2-4ac>0 △=b2−4ac>0时，函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0)，则 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ = △ ∣ a ∣ |M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣M1M2∣=∣x1−x2∣=∣a∣△ 。------【图像的内部】
3.参数含义 ：二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)
a ：当a＞0（a＜0）时，有最小（大）值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2，无最大（小）值。
b ：影响对称轴位置，因以 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=−2ab为对称轴。
c ：代表图像在y轴上的截距（纵截距），影响顶点高度，因顶点坐标 为 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。
4.图像与x轴的位置 ：
已知函数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c与x轴交点的个数，可知
（1）若函数与x轴有2个交点，则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c ＞ 0 a≠0和△=b^2-4ac＞0 a=0和△=b2−4ac＞0；------【【易错点】此类题易忘掉一元二次函数（方程、不等式）的二次项系数不能为0。要使用 △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac，必先看二次项系数是否为0。】
（2）若函数与x轴有1个交点，即抛物线与x轴相切或图像是一条直线，则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c = 0 a≠0和△=b^2-4ac=0 a=0和△=b2−4ac=0；或 a = 0 和 b ≠ 0 a=0和b≠0 a=0和b=0；
（3）若函数与轴没有交点，则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c ＜ 0 a≠0和△=b^2-4ac＜0 a=0和△=b2−4ac＜0或 a = b = 0 和 c ≠ 0 a=b=0和c≠0 a=b=0和c=0。
（4）图像始终位于x轴上方，则 a ＞ 0 和△ = b 2 − 4 a c ＜ 0 a＞0和△=b^2-4ac＜0 a＞0和△=b2−4ac＜0
（5）图像始终位于x轴下方，则 a ＜ 0 和△ = b 2 − 4 a c ＜ 0 a＜0和△=b^2-4ac＜0 a＜0和△=b2−4ac＜0
5.图像与一次函数的交点 ：
二次函数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c与一次函数 y = k x ＋ m y=kx＋m y=kx＋m的交点情况有三种，利用数形结合思想，令两函数值相等，得到新的一元二次方程 a x 2 + b x ＋ c − ( k x + m ) = 0 ax^2+bx＋c-(kx+m)=0 ax2+bx＋c−(kx+m)=0。
（1）2个交点：新的一元二次方程 △＞ 0 △＞0 △＞0。
（2）1个交点：①一次函数与二次函致相切，新的一元二次方程 △ = 0 △=0 △=0。特别地，在顶点处相切时， k = 0 k=0 k=0，一次函数为 y = 4 a c − b 2 4 a y=\frac{4ac-b^2}{4a} y=4a4ac−b2。②一次函数垂直于x轴，k不存在。
（3）0个交点：新的一元二次方程 △＜ 0 △＜0 △＜0
------其他函数 ------【记图像可辅助记忆性质】
正比例函数 ： y = k x ( k ≠ 0 ) y=kx(k≠0) y=kx(k=0)，定义域为 R R R，值域为 R R R，单调性为 k ＞ 0 k＞0 k＞0时，单调递增； k ＜ 0 k＜0 k＜0时，单调递减，图像是"一条直线"。
反比例函数 ： y = k x ( k 为常数， k ≠ 0 ) y=\frac{k}{x}(k为常数，k≠0) y=xk(k为常数，k=0)，定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 x∣x=0}，单调性为k＞0时，在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) (-∞,0),(0,+∞) (−∞,0),(0,+∞)上单调递减；k＜0时，在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) (-∞,0),(0,+∞) (−∞,0),(0,+∞)上单调递增，值域为{ y ∣ y ≠ 0 y|y≠0 y∣y=0}，图像是"两条圆心对称的圆弧"。
对勾函数 ： y = x + 1 x y=x+\frac{1}{x} y=x+x1，定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 x∣x=0}，值域为 ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) (-∞,-2)∪(2,+∞) (−∞,−2)∪(2,+∞)，单调性为在区间 ( − ∞ , − 1 ) , ( 1 , + ∞ ) (-∞,-1),(1,+∞) (−∞,−1),(1,+∞)上单调递增；在区间 ( − 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) (-1,0),(0,1) (−1,0),(0,1)上单调递减，图像是"两条圆心对称的耐特勾"。
指数函数 ： y = a x ( a ＞ 0 , a ≠ 1 ) y=a^x(a＞0,a≠1) y=ax(a＞0,a=1)，定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-∞,+∞) (−∞,+∞)，值域 ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) (0,+∞)，单调性为当 a ＞ 1 a＞1 a＞1时，是增函数；当 0 ＜ a ＜ 1 0＜a＜1 0＜a＜1时，是减函数。图像恒过点 ( 0 , 1 ) ，是"一条弧线" (0,1)，是"一条弧线" (0,1)，是"一条弧线"。------【 a ＞ 0 a＞0 a＞0和 0 ＜ a ＜ 1 0＜a＜1 0＜a＜1两图像形成交叉于 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)的文字yi乂】
对数函数 ： y = l o g a x ( a ＞ 0 , a ≠ 1 ) y=log_ax(a＞0,a≠1) y=logax(a＞0,a=1)，定义域为 ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) (0,+∞)，值域 全体实数 R 全体实数R 全体实数R，单调性为当 a ＞ 1 a＞1 a＞1时，是增函数；当 0 ＜ a ＜ 1 0＜a＜1 0＜a＜1时，是减函数。图像恒过点 ( 1 , 0 ) ，是"一条弧线" (1,0)，是"一条弧线" (1,0)，是"一条弧线"。它与 y = a x y=a^x y=ax互为反函数。------【 a ＞ 0 a＞0 a＞0和 0 ＜ a ＜ 1 0＜a＜1 0＜a＜1两图像形成交叉于 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)的躺着的文字yi乂】
指数运算 ： a m ⋅ a n = a m + n a^m·a^n=a^{m+n} am⋅an=am+n； a m ÷ a n = a m − n a^m÷a^n=a^{m-n} am÷an=am−n； ( a m ) n = a m n (a^m)n=a^{mn} (am)n=amn； a 0 = 1 a^0=1 a0=1； a − n = 1 a n a^{-n}=\frac{1}{a^n} a−n=an1； a m n = a m n a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} anm=nam
对数运算 ：当 a ＞ 0 a＞0 a＞0且 a ≠ 1 a≠1 a=1时， m ＞ 0 m＞0 m＞0， n ＞ 0 n＞0 n＞0，则 l o g 底 真 log_底真 log底真：------【乘除变加减，指数提到前】
同底对数： l o g a m + l o g a n = l o g a m n log_am+log_an=log_amn logam+logan=logamn；
同底对数： l o g a m − l o g a n = l o g a m n log_am-log_an=log_a\frac{m}{n} logam−logan=loganm；
幂运算： l o g a m b n = n m l o g a b log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}log_ab logambn=mnlogab； m = 1 m=1 m=1时， l o g a b n = n l o g a b log_ab^n=nlog_ab logabn=nlogab； m = n m=n m=n时， l o g a m b n = l o g a b log_{a^m}b^n=log_ab logambn=logab； l o g a M n = 1 n l o g a M log_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}log_aM loganM =n1logaM；
换底公式： l o g a b = l o g c b l o g c a = l g b l g a = l n b l n a log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}=\frac{lgb}{lga}=\frac{lnb}{lna} logab=logcalogcb=lgalgb=lnalnb， l o g a b = 1 l o g b a log_ab=\frac{1}{log_ba} logab=logba1， l o g a M = l o g b M ÷ l o g b a ( b ＞ 0 且 b ≠ 1 ) log_aM=log_bM÷log_ba(b＞0且b≠1) logaM=logbM÷logba(b＞0且b=1)，一般c取10或e。------【换底公式，真数在上，底数在下】
常用对数：以10为底的对数， l o g 10 N log_{10}N log10N，简记为 l g N lgN lgN；
自然对数：以无理数e（e=2.71828...）为底的对数， l o g e N log_eN logeN，简记为 l n N lnN lnN。
特殊对数： l o g a 1 = 0 log_a1=0 loga1=0， l o g a a = 1 log_aa=1 logaa=1，负数和零没有对数， a l o g a b = b a^{log_ab}=b alogab=b， l o g a a s = s log_aa^s=s logaas=s------【 a l o g a b = b a^{log_ab}=b alogab=b】
最值函数 ：
最大值函数： m a x max max{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最大的数；本质为： m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ a ≥a ≥a且 m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ b ≥b ≥b且 m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ c ≥c ≥c。对于函数而言， m a x max max{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最高的部分。
最小值函数： m i n min min{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最小的数。本质为： m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ a ≤a ≤a且 m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ b ≤b ≤b且 m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ c ≤c ≤c。对于函数而言， m i n min min{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最低的部分。
对于max函数图像，先画出各函数图像，然后取图像位于上方部分；对于min函数图像，先画出各函数图像，然后取图像位于下方部分。
绝对值函数 ：
y = ∣ a x + b ∣ y=|ax+b| y=∣ax+b∣先画 y = a x + b y=ax+b y=ax+b的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
y = ∣ a x 2 + b x + c ∣ y=|ax^2+bx+c| y=∣ax2+bx+c∣的图像，再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
y = a x 2 + b ∣ x ∣ + c y=ax^2+b|x|+c y=ax2+b∣x∣+c先画 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c的图像，再将y轴左侧图像删掉，替换成y轴右侧对称过来的图像。
∣ a x + b y ∣ = c b |ax+by|=cb ∣ax+by∣=cb表示两条平行的直线 a x + b y = ± c ax+by=±c ax+by=±c，且两者关于原点对称。
∣ a x ∣ + ∣ b y ∣ = c |ax|+|by|=c ∣ax∣+∣by∣=c，当 a = b a=b a=b时，表示正方形，当 a ≠ b a≠b a=b时，表示菱形。
∣ x y ∣ + a b = a ∣ x ∣ + b ∣ y ∣ |xy|+ab=a|x|+b|y| ∣xy∣+ab=a∣x∣+b∣y∣， ∣ x y ∣ + a b = a ∣ x ∣ + b ∣ y ∣ |xy|+ab=a|x|+b|y| ∣xy∣+ab=a∣x∣+b∣y∣ ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x y ∣ − a ∣ x ∣ − b ∣ y ∣ + a b = 0 |xy|-a|x|-b|y|+ab=0 ∣xy∣−a∣x∣−b∣y∣+ab=0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x ∣ ( ∣ y ∣ − a ) − b ( ∣ y ∣ − a ) = 0 |x|(|y|-a)-b(|y|-a)=0 ∣x∣(∣y∣−a)−b(∣y∣−a)=0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ( ∣ x ∣ − b ) ( ∣ y ∣ − a ) = 0 (|x|-b)(|y|-a)=0 (∣x∣−b)(∣y∣−a)=0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x ∣ = b |x|=b ∣x∣=b或 ∣ y ∣ = a |y|=a ∣y∣=a， 故表示由 x = ± b , y = ± a x=±b,y=±a x=±b,y=±a围成的图形，当 a = b a=b a=b时，表示正方形，当 a ≠ b a≠b a=b时，表示矩形。
y = ∣ f ( x ) ∣ y=|f(x)| y=∣f(x)∣上翻下型：先画 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)图像，再将图像位于x轴下方的部分翻到x轴上方。
y = f ( ∣ x ∣ ) y=f(|x|) y=f(∣x∣)右翻左型：先画 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的图像，保留y轴右侧部分；再将右侧的部分翻转到y轴左侧。
分段函数 ：
分段函数：对于其定义域内的自变量x的不同值，不能用一个统一的解析式表示，而是要用两个或两个以上的式子表示。分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式。对于分段函数，根据不同取值区间，选择不同的表达式代入求解。
模型识别：自变量在不同取值范围内有不同的对应法则。
解题方法：求分段函数的函数值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)时，应该首先判断 x 0 x_0 x0所属的取值范围，然后把 x 0 x_0 x0代入到相应的解析式中进行计算。
复合函数 ：
（1）定义：已知函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)，又 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)，则称函数 y = f ( g ( x ) ) y=f(g(x)) y=f(g(x))为函数 y = f ( u ) y =f(u) y=f(u)与 u = g ( x ) u =g(x) u=g(x)的复合函数。其中y称为因变量，x称为自变量，u称为中间变量。
（2）求复合函数的定义域
①复合函数的定义域，是函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]中x的取值范围；
②若函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b)，则复合函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]的定义域由 a ＜ g ( x ) ＜ b a＜g(x)＜b a＜g(x)＜b求出；
③若函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b)，则 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 g ( x ) g(x) g(x)在 a ＜ x ＜ b a＜x＜b a＜x＜b上的值域。
注意： g ( x ) g(x) g(x)的值域对应 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域。对于复合函数，可以将内部的函数看成一个整体进行分析。此外，内部函数的值域对应外部函数的定义域。
（3）复合函数的单调性------【同增异减】
------一元二次方程 ------【核心为"根"：求根，根的多少/判别式，根与系数，根的正负，根的范围/区间】
一元二次方程：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，"元"是指方程中所含未知数的个数，"次"是指方程中未知数最高的指数。------【类比记忆法：一元二次方程其实是一元二次函数的函数值为0时的情况】
根的求解/求根解法 ：
（1）十字相乘因式分解法：先用十字相乘进行分解，分解后可以求出方程的根。
（2）求根公式法：如果无法用十字相乘分解，可以套用求根公式： x 1 , 2 = − b ± △ 2 a = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{△}}{2a}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1,2=2a−b±△ =2a−b±b2−4ac ------
【根判别式 △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 求根公式 ： x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△ ＋2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3】
根的多少/判别式 ：
△ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac △=b2−4ac称为一元二次方程根的判别式
当 △＞ 0 △＞0 △＞0时，方程有两个不相等的实根；当 △ = 0 △=0 △=0时，方程有两个相等的实根；当 △＜ 0 △＜0 △＜0时，方程没有实根。
方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx+c=0(a=0)有两个不相等的实数根 ⟺ ⟺ ⟺ 函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)与x轴有两个交点 ⟺ ⟺ ⟺ △＞ 0 △＞0 △＞0。------【要 a ≠ 0 a≠0 a=0& △＞ 0 △＞0 △＞0】
方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx+c=0(a=0)有两个相等的实数根 ⟺ ⟺ ⟺ 函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)与x轴有一个交点 ⟺ ⟺ ⟺ △ = 0 △=0 △=0。------【要 a ≠ 0 a≠0 a=0& △ = 0 △=0 △=0】
方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a≠0) ax2+bx+c=0(a=0)没有实数根 ⟺ ⟺ ⟺ 函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)与x轴没有交点 ⟺ ⟺ ⟺ △＜ 0 △＜0 △＜0。------【要 a ≠ 0 a≠0 a=0& △＜ 0 △＜0 △＜0】
------【 △ △ △判别式
⟹ \Longrightarrow ⟹ b 2 − 4 a c b^2-4ac b2−4ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，方程有两根，即求根公式 x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△ ，图像抛物线与x轴有两个交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＝0，方程有一根， x x x为 − b 2 a -\frac{b}{2a} −2ab，图像抛物线与x轴有一个交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＜0，方程无根，图像抛物线与x轴没有交点
⟹ \Longrightarrow ⟹ y y y的最值为 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2 ＝ －△ 4 a \frac{－△}{4a} 4a－△
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，图像的弦长公式为 △ ∣ a ∣ \frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣a∣△
⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △＞0，图像的顶点△面积为 ( △ ) 3 8 a 2 \frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 8a2(△ )3】
判别式 △ △ △的不同表达：
（1） △ = 0 △=0 △=0
A.方程有两个相等的实根
B.函数抛物线与x轴有且仅有一个交点（只有一个公共点）
C.函数抛物线与x轴相切
D.函数抛物线在x轴上的截距为0
E.函数是一个完全平方式
F.方程具有重实根
G.直线与曲线（抛物线）有一个交点
H.存在x的值使得 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0成立
（2） △＞ 0 △＞0 △＞0
A.方程有两个不相等的实根
B.函数抛物线与x轴相交
C.函数抛物线与x轴有两个交点
D.方程有两个零点
E.直线与曲线（抛物线）有两个交点
（3） △＜ 0 △＜0 △＜0
A.方程没有实数根
B.函数抛物线与x轴没有交点
C.函数抛物线与x轴相离
D.函数抛物线在轴上的截距不存在
E.直线与曲线（抛物线）没有交点
F.函数没有零点
判别式 △ △ △的常见思维误区：
A.方程有两个实数根
B.方程有两个正根
C.方程有两个负根
D.方程有根
这四句话的意思是判别式大于等于零，而非大于零，因为存在两个相等的根和两个不相等的根两种情况，记住：一元二次方程永远是有两个根的。
根的关系/根与系数关系/韦达定理 ：
x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 且△ ≥ 0 ) ax^2+bx+c=0(a≠0且△≥0) ax2+bx+c=0(a=0且△≥0)的两根 ⟹ \Longrightarrow ⟹ x 1 + x 2 = − b a x_1+x_2=-\frac{b}{a} x1+x2=−ab， x 1 ⋅ x 2 = c a x_1·x_2=\frac{c}{a} x1⋅x2=ac， ∣ x 1 − x 2 ∣ = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣a∣b2−4ac 。
一元三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 ax^3+bx^2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的韦达定理 ⟹ \Longrightarrow ⟹ x 1 + x 2 + x 3 = − b a x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a} x1+x2+x3=−ab， x 1 x 2 x 3 = − d a x_1x_2x_3=-\frac{d}{a} x1x2x3=−ad， x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 3 = c a x_1x_3+x_2x_3+x_1x_3=\frac{c}{a} x1x3+x2x3+x1x3=ac
韦达定理使用前提：------【条件充分性问题判断】
（1）方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0的二次系数 a ≠ 0 a≠0 a=0；
（2）一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0根的判别式 △ = b 2 − 4 a c ≥ 0 △=b^2-4ac≥0 △=b2−4ac≥0
------【 求根公式 ：
x 1 , 2 x_{1,2} x1,2= − b ± △ 2 a \frac{-b±\sqrt{△}}{2a} 2a−b±△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 + x 2 = − b ＋ △ 2 a ＋ − b − △ 2 a = − b a x_1+x_2=\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}＋\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}=-\frac{b}{a} x1+x2=2a−b＋△ ＋2a−b−△ =−ab
⟹ \Longrightarrow ⟹ 韦达定理为 x 1 ⋅ x 2 = − b ＋ b 2 − 4 a c 2 a ∗ − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a x_1·x_2=\frac{-b＋\sqrt{b^2-4ac}}{2a}*\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a} x1⋅x2=2a−b＋b2−4ac ∗2a−b−b2−4ac =ac
⟹ \Longrightarrow ⟹ 弦长公式为 ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ − b ＋ △ 2 a − − b − △ 2 a ∣ = △ ∣ a ∣ |x_1-x_2|=|\frac{-b＋\sqrt{△}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{△}}{2a}|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣x1−x2∣=∣2a−b＋△ −2a−b−△ ∣=∣a∣△ 【 ∣ x 1 − x 2 ∣ |x_1-x_2| ∣x1−x2∣中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点y为求根公式的另一半，上面开方下面乘2= − △ 4 a -\frac{△}{4a} −4a△
⟹ \Longrightarrow ⟹ 顶点△面积为 1 2 ⋅ ∣ y ∣ ⋅ ∣ x 1 − x 2 ∣ = ∣ －△ 4 a ∣ ∗ △ ∣ a ∣ = ( △ ) 3 8 a 2 \frac{1}{2}·|y|·|x_1-x_2|=|\frac{－△}{4a}|*\frac{\sqrt{△}}{|a|}=\frac{(\sqrt{△})^3}{8a^2} 21⋅∣y∣⋅∣x1−x2∣=∣4a－△∣∗∣a∣△ =8a2(△ )3】
PS：韦达定理是由求根公式推导而来，因此使用韦达定理求解参数值或取值范围要满足上述两个条件。
韦达定理拓展/根的高次幂 ：
1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 x 2 = − b c \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{b}{c} x11+x21=x1x2x1+x2=−cb
1 x 1 2 + 1 x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 = b 2 − 2 a c c 2 \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2} x121+x221=(x1x2)2(x1+x2)2−2x1x2=c2b2−2ac
∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 − x 2 ) 2 = x 1 + x 2 2 − 4 x 1 x 2 = b 2 a 2 − 4 c a = b 2 − 4 a c ∣ a ∣ |x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{{x_1+x_2}^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|} ∣x1−x2∣=(x1−x2)2 =x1+x22−4x1x2 =a2b2−a4c =∣a∣b2−4ac ------【 ∣ x 1 − x 2 ∣ |x_1-x_2| ∣x1−x2∣中文表达：方程两根之差的绝对值=方程两根之间的距离=函数抛物线在x轴上的截距=函数抛物线截x轴的长度=函数抛物线与两坐标轴围成的三角形的底边长】
x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 x 1 x 2 = b 2 − 2 a c a 2 x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{b^2-2ac}{a^2} x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=a2b2−2ac
x 1 2 − x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2) x12−x22=(x1+x2)(x1−x2)
x 1 3 + x 2 3 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 2 − x 1 x 2 + x 2 2 ) = ( x 1 + x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − 3 x 1 x 2 ] x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2] x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]
根的高次幂问题：先通过迭代将次法，将所求代数式降低次数，再利用韦达定理求值。------【遇到复杂的整式或者分式时，将其分解为韦达定理能用的式子为止。】
根的符号/正负 ：------【两看：根个数看△，正负看韦达定理/abc符号】------【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
（1）方程有两个正根------【等价于：ab异号、ac同号且△≥0】 { x 1 + x 2 ＞ 0 x 1 x 2 ＞ 0 △ ≥ 0 两个不等正根为△＞0 \begin{cases} x_1+x_2＞0\\ x_1x_2＞0\\ △≥0 & \text{两个不等正根为△＞0} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2＞0x1x2＞0△≥0两个不等正根为△＞0
（2）方程有两个负根------【等价于：a、b、c同号且△≥0】 { x 1 + x 2 ＜ 0 x 1 x 2 ＞ 0 △ ≥ 0 两个不等正根为△＞0 \begin{cases} x_1+x_2＜0\\ x_1x_2＞0\\ △≥0& \text{两个不等正根为△＞0} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+x2＜0x1x2＞0△≥0两个不等正根为△＞0
（3）方程有一正一负根------【等价为：a、c异号=ac＜0】 { x 1 ⋅ x 2 ＜ 0 △＞ 0 ac＜0此时必有△＞0，此条件可不写 \begin{cases} x_1·x_2＜0\\ △＞0& \text{ac＜0此时必有△＞0，此条件可不写} \end{cases} {x1⋅x2＜0△＞0ac＜0此时必有△＞0，此条件可不写
若再要求 ∣ 正根 ∣ ＞ ∣ 负根 ∣ |正根|＞|负根| ∣正根∣＞∣负根∣，有------【等价为：a、c异号；a、b异号】 { x 1 ⋅ x 2 ＜ 0 ⟺ac＜0 x 1 + x 2 ＞ 0 ⟺ab＜0 \begin{cases} x_1·x_2＜0& \text{⟺ac＜0} \\ x_1+x_2＞0& \text{⟺ab＜0} \\ \end{cases} {x1⋅x2＜0x1+x2＞0⟺ac＜0⟺ab＜0
若再要求 ∣ 负根 ∣ ＞ ∣ 正根 ∣ |负根|＞|正根| ∣负根∣＞∣正根∣，有------【等价为：a、c异号；a、b同号】 { x 1 ⋅ x 2 ＜ 0 ⟺ac＜0 x 1 + x 2 ＜ 0 ⟺ab＞0 \begin{cases} x_1·x_2＜0& \text{⟺ac＜0} \\ x_1+x_2＜0& \text{⟺ab＞0} \\ \end{cases} {x1⋅x2＜0x1+x2＜0⟺ac＜0⟺ab＞0
根的区间 ：------【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
------【根的区间 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 端点
⟹ \Longrightarrow ⟹ 两根位于不同区间，仅看四个端点；
⟹ \Longrightarrow ⟹ 两根位于相同区间，需看两点=顶点+端点】
若一元二次方程的两根分布在某一特定区间内，则把一元二次方程转化为一元二次函数，结合一元二次函数的图像的抛物线来解决问题。即设一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0为 f ( x ) f(x) f(x)，根为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2。为了讨论方便，我们只讨论 a ＞ 0 a＞0 a＞0的情况，考试时，如果a的符号不定，则需要先讨论开口方向。
（1）两根位于同一区间------【需看"两点"，即看顶点（横坐标相当于看对称轴，纵坐标相当于看△）、看端点（根所分布区间的端点）】------【同一区间反而更不自由，相比不同区间，少了两个端点，所以找了对称轴和△来帮忙】
① 若 a ＞ 0 a＞0 a＞0，两根都大于 m m m，则有
{ f ( m ) ＞ 0 (看端点) − b 2 a ＞ m (看顶点) △ ≥ 0 (定相交) \begin{cases} f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＞m& \text{(看顶点)}\\ △≥0& \text{(定相交)} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f(m)＞0−2ab＞m△≥0(看端点)(看顶点)(定相交)
②若 a ＞ 0 a＞0 a＞0，两根都小于 m m m，则有
{ f ( m ) ＞ 0 (看端点) − b 2 a ＜ m (看顶点) △ ≥ 0 (定相交) \begin{cases} f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ -\frac{b}{2a}＜m& \text{(看顶点)}\\ △≥0& \text{(定相交)} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f(m)＞0−2ab＜m△≥0(看端点)(看顶点)(定相交)
③ 若 a ＞ 0 a＞0 a＞0，两根都在 ( m , n ) (m,n) (m,n)上，则有
{ f ( m ) ＞ 0 (看端点) f ( n ) ＞ 0 (看端点) m ＜ − b 2 a ＜ n (看顶点，只依赖端点，会出现顶点不在区间内，在区间左边，也可以满足上述两端点的要求，所以需要对称轴进行限制) △ ≥ 0 (图像可能不与x轴相交，所以需要△进行限制) \begin{cases} f(m)＞0& \text{(看端点)}\\ f(n)＞0& \text{(看端点)}\\ m＜-\frac{b}{2a}＜n& \text{(看顶点，只依赖端点，会出现顶点不在区间内，在区间左边，也可以满足上述两端点的要求，所以需要对称轴进行限制)}\\ △≥0& \text{(图像可能不与x轴相交，所以需要△进行限制)} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f(m)＞0f(n)＞0m＜−2ab＜n△≥0(看端点)(看端点)(看顶点，只依赖端点，会出现顶点不在区间内，在区间左边，也可以满足上述两端点的要求，所以需要对称轴进行限制)(图像可能不与x轴相交，所以需要△进行限制)
（2）两根位于不同区间------【仅看端点（根所分布区间的端点）】------【根的区间需要端点，四个端点不需要顶点】
① 若 a > 0 a>0 a>0，方程的一根大于 k k k，另外一根小于 k k k，即 x 1 ＜ k ＜ x 2 x_1＜k＜x_2 x1＜k＜x2，则有 f ( k ) ＜ 0 f(k)＜0 f(k)＜0(看端点)。
② 若 a ＞ 0 a＞0 a＞0，一根在 ( m , n ) (m,n) (m,n)内，另外一根在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内则有：
{ f ( m ) ＞ 0 f ( n ) ＜ 0 (看端点) f ( a ) ＜ 0 f ( b ) ＞ 0 \begin{cases} f(m)＞0\\ f(n)＜0& \text{(看端点)}\\ f(a)＜0\\ f(b)＞0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧f(m)＞0f(n)＜0f(a)＜0f(b)＞0(看端点)
or 精简为：
{ f ( m ) ⋅ f ( n ) ＜ 0 f ( a ) ⋅ f ( b ) ＜ 0 \begin{cases} f(m)·f(n)＜0\\ f(a)·f(b)＜0\\ \end{cases} {f(m)⋅f(n)＜0f(a)⋅f(b)＜0
说明：此处需要将方程转换成函数，图形结合进行理解，即结合一元二次函数的图像抛物线解决问题。
技巧：画出题干条件中的图像，然后根据区间，再讨论端点函数值与零的关系，列不等式求解。
根的有理根 ：------【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
a , b , c a,b,c a,b,c均为有理数， △ = k 2 △=k^2 △=k2（k为有理数）
有理系数一元二次方程有两个有理根的条件为： △ △ △为完全平方
根的整数根 ：------【根的分布：正负根、区间根、有理根、整数根】
a , b , c a,b,c a,b,c均为整数， { △为完全平方数 x 1 + x 2 = − b a ∈ Z 即a是b,c的公约数 x 1 x 2 = c a ∈ Z \begin{cases} △为完全平方数\\ x_1+x_2=-\frac{b}{a}∈Z& \text{即a是b,c的公约数}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}∈Z \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧△为完全平方数x1+x2=−ab∈Zx1x2=ac∈Z即a是b,c的公约数
根的倒数根 ：------【理解记忆法：由韦达定理可推导】
若方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0有两根 e ， f ( 其中 a ≠ 0 ， c ≠ 0 ) e，f(其中a≠0，c≠0) e，f(其中a=0，c=0)，则有
（1）方程 a x 2 − b x + c = 0 ax^2-bx+c=0 ax2−bx+c=0的两根为 − e ， − f -e，-f −e，−f；
（2）方程 c x 2 + b x + a = 0 cx^2+bx+a=0 cx2+bx+a=0的两根为 1 e ， 1 f \frac{1}{e}，\frac{1}{f} e1，f1；
（3）方程 c x 2 − b x + a = 0 cx^2-bx+a=0 cx2−bx+a=0的两根为 − 1 e ， − 1 f -\frac{1}{e}，-\frac{1}{f} −e1，−f1。
根 y的最值 ：
若已知方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0的两根为 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2，则 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)的最值为 f ( x 1 + x 2 2 ) f(\frac{x_1+x_2}{2}) f(2x1+x2)。
四次方程或绝对值方程的根 ：
判断形如 a ∣ x ∣ 2 + b ∣ x ∣ + c = 0 ( a ≠ 0 ) a|x|^2+b|x|+c=0(a≠0) a∣x∣2+b∣x∣+c=0(a=0)或者 a x 4 + b x 2 + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^4+bx^2+c=0(a≠0) ax4+bx2+c=0(a=0)的方程根的情况（相等的根算作1个）。
解题方法：
换元法，令 t = ∣ x ∣ t=|x| t=∣x∣或 t = x 2 t=x^2 t=x2，则原式化为 a t 2 ＋ b t + c = 0 ( a ≠ 0 ) at^2＋bt+c=0(a≠0) at2＋bt+c=0(a=0)，其中 t ≥ 0 t≥0 t≥0，则有：
（1）关于x的方程有4个不等实数 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 关于t的方程有2个不等正根；
（2）关于x的方程有3个不等实根 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 关于t的方程有1个根是0，另外1个根是正数；
（3）关于x的方程有2个不等实根 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 关于t的方程有2个相等正根，或者有1个正根1个负根(负根应舍去)；
（4）关于x的方程有1个实根 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 关于t的方程的根为0，或者1个根为0，另外一个根是负数(应舍去)；
（5）关于x的方程无实根 ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 关于t的方程无实根，或者根为负数(应舍去)。
这样，就转化成了正负根问题。
------其他方程 ------
分式方程
求解步骤：
第一步：移项，通分，将原方程转化为标准形式 f ( x ) g ( x ) = 0 \frac{f(x)}{g(x)}=0 g(x)f(x)=0；
第二步：去分母，使 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，解出 x = x 0 x=x_0 x=x0；
第三步：验根：将 x = x 0 x=x_0 x=x0代入 g ( x ) g(x) g(x)，若 g ( x 0 ) g(x_0) g(x0)=0，则 = x 0 =x_0 =x0为增根，应舍去；若 g ( x 0 ) ≠ 0 g(x_0)≠0 g(x0)=0，则 x = x 0 x=x_0 x=x0为原方程的根。
无解陷阱：
解分式方程的过程中，若方程无解，则需考虑两种情况：
（1）去分母后的方程无解；
（2）去分母后的方程的解是增根。常见易错点是漏掉（1）的情况。
根式方程
求解步骤：关键在于去根号和考虑根式是否有意义
f ( x ) = g ( x ) \sqrt{f(x)}=g(x) f(x) =g(x)型根式方程：解方程组 f ( x ) = g 2 ( x ) f(x)=g^2(x) f(x)=g2(x)& f ( x ) ≥ 0 f(x)≥0 f(x)≥0& g ( x ) ≥ 0 g(x)≥0 g(x)≥0；
f ( x ) = 0 f(\sqrt{x})=0 f(x )=0型根式方程：①令 x = t ( t ≥ 0 ) \sqrt{x}=t(t≥0) x =t(t≥0)；②原方程转化为 f ( t ) = 0 f(t)=0 f(t)=0的形式并求解得到t的值（注意 t ＜ 0 t＜0 t＜0的值要舍去）；③原方程的解为 x = t 2 x=t^2 x=t2。
指数方程
（1）同底去底法： a f ( x ) = a g ( x ) a^{f(x)}=a^{g(x)} af(x)=ag(x) ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x)；
（2）化成对数式： a f ( x ) = b a^{f(x)}=b af(x)=b ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ a f ( x ) = a l o g a b a^{f(x)}=a^{log_ab} af(x)=alogab ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) = l o g a b f(x)=log_ab f(x)=logab；------【 a l o g a b = b a^{log_ab}=b alogab=b】
（3）取同底对数： a f ( x ) = b g ( x ) a^{f(x)}=b^{g(x)} af(x)=bg(x) ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ l g a f ( x ) = l g b g ( x ) lga^{f(x)}=lgb^{g(x)} lgaf(x)=lgbg(x) ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) l g a = g ( x ) l g b f(x)lga=g(x)lgb f(x)lga=g(x)lgb。
对数方程
（1）同底去底法： l o g a f ( x ) = l o g a g ( x ) log_af(x)=log_ag(x) logaf(x)=logag(x) ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x)；
（2）化成指数式： l o g a f ( x ) = b log_af(x)=b logaf(x)=b ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ l o g a f ( x ) = l o g a a b log_af(x)=log_aa^b logaf(x)=logaab ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) = a b f(x)=a^b f(x)=ab；
（3）取同底指数： l o g a f ( x ) = b log_af(x)=b logaf(x)=b ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ a l o g a f ( x ) = a b a^{log_af(x)}=a^b alogaf(x)=ab ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ f ( x ) = a b f(x)=a^b f(x)=ab。
绝对值方程
常用处理绝对值的方法：
（1）分段讨论法
根据绝对值的正负情况来分类讨论，其缺点是运算量较大，只有当绝对值比较简单时，才分段讨论求解。
（2）平方法
采用平方来去掉绝对值，利用公式 ∣ x ∣ 2 = x 2 |x|^2=x^2 ∣x∣2=x2来分析求解，平方法的缺点是次方升高，一般结合平方差公式来转移此缺点。
（3）图像法
解题步骤：
（1） ∣ f ( x ) ∣ = a ( a ≥ 0 ) |f(x)|=a(a≥0) ∣f(x)∣=a(a≥0) ⟹ \Longrightarrow ⟹ f ( x ) = ± a f(x)=±a f(x)=±a
（2） ∣ f ( x ) ∣ = g ( x ) |f(x)|=g(x) ∣f(x)∣=g(x) ⟹ \Longrightarrow ⟹ g ( x ) ≥ 0 g(x)≥0 g(x)≥0且 f ( x ) = ± g ( x ) f(x)=±g(x) f(x)=±g(x)
（3） ∣ f ( x ) ∣ = ∣ g ( x ) ∣ |f(x)|=|g(x)| ∣f(x)∣=∣g(x)∣ ⟹ \Longrightarrow ⟹ f ( x ) = ± g ( x ) f(x)=±g(x) f(x)=±g(x)或 f 2 ( x ) = g 2 ( x ) f^2(x)=g^2(x) f2(x)=g2(x)
（4）分类讨论法去绝对值符号，再解方程
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