线性代数 第五章 特征值与特征向量

一、特征值定义

二、特征值求法

  • 定义法;
  • 相似。

三、特征向量求法

  • 定义法;
  • 基础解系法;
  • 相似。

四、特征值性质

  1. 不同特征值的特征向量线性无关
  2. k重特征值至多有k个线性无关的特征向量

五、相似的定义

,则A和B相似。

六、相似的性质(必要条件)

七、可对角化

7.1 充要条件
  • A有n个线性无关的特征向量
  • 如果λ是k重特征值,那么λ必有k个线性无关的特征向量
  • 重特征值
7.2 充分条件
  • A有n个不同的特征值
  • A是实对称矩阵

八、实对称矩阵隐含的信息

  • 必与对角矩阵相似
  • 可用正交矩阵对角化,且对角阵上的元素即为特征值
  • 不同特征值的特征向量必正交
  • 特征值必是实数,特征向量必是实向量
  • k重特征值必有k个线性无关的特征向量(
  • n阶实对称矩阵A有n个特征值的话(含重根),若r(A)<n,则有n-r(A)个零特征值
  • 秩等于非零特征值的个数

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