区间调度问题及贪心算法证明

1.问题及答案

问题：数轴上有n个区间，选出最多的区间，使得这些区间不互相重叠。

算法：

将所有区间按右端点坐标从小到大排序，顺序处理每个区间。如果它与当前已选的所有区间都没有重叠，则选择该区间，否则不选。

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    @Test
    public void intervalSchedule() {
        int[][] array = new int[][]{{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {1, 5}, {2, 3}};
        Collections.sort(Arrays.asList(array), Comparator.comparingInt(o -> o[1]));
        int count = 1;
        int yRight = array[0][1];
        for (int i = 1; i < array.length; ++i) {
            if (array[i][0] >= yRight) {
                ++count;
                yRight = array[i][1];
            }
        }
        System.out.println("不重叠子区间的最大数量为 = " + count);
    }

2.贪心算法证明

参考链接：https://blog.csdn.net/luoweifu/article/details/18195607

证明：

显然，该算法最后选出的区间不互相重叠，下面证明所选出区间的数量是最多的。设fi为该算法所接受的第i个区间的右端点坐标，gi为某最优解中的第i个区间的右端点坐标。

命题1.1 当i >= 1时，该算法所接受的第i个区间的右端点坐标fi <= 某最优解中的第i个区间的右端点坐标gi

该命题可以运用数学归纳法来证明。对于i=1，命题显然为真，因为算法第一个选择的区间拥有最小右端点坐标。令i>1，假定论断对i-1为真，即fi-1<=gi-1。则最优解的第i个可选区间所组成的集合包含于执行该算法时第i个可选区间所组成的集合；而当算法选择第i个区间时，选的是在可选区间中右端点坐标最小的一个，所以有fi<=gi。证毕。

设该算法选出了k个区间，而最优解选出了m个区间。

命题1.2 最优解选出的区间数量m = 该算法选出的区间数量k

假设m>k，根据命题1.1，有fk<=gk。由于m>k，必然存在某区间，在gk之后开始，故也在fk之后开始。而该算法一定不会在选了第k个区间后停止，还会选择更多的区间，产生矛盾。所以m<=k,又因为m是最优解选出区间个数，所以m=k。

综上所述，算法选出的区间是最优解。