线性代数（五） | 矩阵对角化特征值特征向量

Qodi2023-11-11 8:25

1 矩阵的特征值和特征向量究竟是什么？

矩阵实际上是一种变换,是一种旋转伸缩变换（方阵）不是方阵的话还有可能是一种升维和降维的变换

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比如A= ( 1 2 2 1 ) \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix} (1221) x= ( 1 2 ) \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} (12)

我们给x左乘A实际上是对x进行了一次旋转伸缩变换 Ax= ( 5 4 ) \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} (54)

而我们如果仅仅是单纯的伸缩变换，而如果A对x仅仅只能伸缩变换，而不能旋转变换，则称为x为矩阵A的特征向量，伸缩变换的倍数即为特征值

（1）写出特征多项式 ∣ E − A ∣ = 0 |E-A|=0 ∣E−A∣=0 求得特征值

（2）代入特征值求解方程组，解即为我们的特征向量

矩阵的迹

矩阵乘积为行列式

已知A的特征值

则 A − 1 A^{-1} A−1的特征值可求

A的一个多项式特征值可求

所以把我们要求的值转换为A的多项式，进而求出特征值，求出行列式的值

非对称矩阵对角化

（1）求解特征值和特征向量

（2）特征向量组成我们的相乘矩阵P 特征值作为主对角线上的元素的对角矩阵就是我们对角化的矩阵

对称矩阵对角化求正交矩阵

（1）求解特征值值和特征向量

（2）施密特正交化重根对应的特征向量，再单位化所有特征向量

（3）取向量依次组成我们的正交矩阵Q