100127. 给小朋友们分糖果 II

给你两个正整数 n 和 limit 。

请你将 n 颗糖果分给 3 位小朋友，确保没有任何小朋友得到超过 limit 颗糖果，请你返回满足此条件下的 总方案数 。

示例 1：

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输入：n = 5, limit = 2
输出：3
解释：总共有 3 种方法分配 5 颗糖果，且每位小朋友的糖果数不超过 2 ：(1, 2, 2) ，(2, 1, 2) 和 (2, 2, 1) 。

示例 2：

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输入：n = 3, limit = 3
输出：10
解释：总共有 10 种方法分配 3 颗糖果，且每位小朋友的糖果数不超过 3 ：(0, 0, 3) ，(0, 1, 2) ，(0, 2, 1) ，(0, 3, 0) ，(1, 0, 2) ，(1, 1, 1) ，(1, 2, 0) ，(2, 0, 1) ，(2, 1, 0) 和 (3, 0, 0) 。

解析：

正难则反：我们先算出总方案数，在减去不合法的数即可。

有组合数学可以用隔板法进行求出总方案数。C（n+2,2）

在考虑不合法的数。

由容斥原理得：

考虑到三种情况：（这里要注意至少这个词语的理解）

1.当至少一个人不合法，那个人至少要limit+1个球，在用隔板法，在n-limit-1中经行分配 3*C（n- limit-1+2,2）,由题意知道由三个人。

2.当至少有两个人不合法时，至少要消耗(limit+1)*2个球，分配的方案数为3⋅C(n−2⋅(limit+1)+2,2)

3.至少有三个人不合法时，分配的方案数为C(n−3⋅(limit+1)+2,2）

最后总方案数 - 不合法方案数即可。

在上面三种情况中有一些是重复被减去所以后面要加上。

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class Solution {
public:
    long long c2(long long n){
        return n > 1 ?n*(n-1)/2:0;
    }
    long long distributeCandies(int n, int limit) {
        return c2(n+2) - 3*c2(n-limit+1) + 3*c2(n-2 *limit) - c2(n-3*limit - 1);
    }
};