n-gram语言模型------句子概率分布计算与平滑
前言
语言模型（Language Model, LM）在自然语言处理（NLP）领域扮演着核心角色，特别是在统计模型驱动的汉语自动分词和句法分析等领域。目前，广泛采用的是N-gram语法模型，这种模型以其构建的简便性和直观性而著称，但同时也因数据稀疏性问题而不得不使用平滑（Smoothing）技术。
N-gram模型由于计算和实现简单，非常适合于计算资源有限的场景。但是在理解和生成自然语言的复杂结构方面性能比较差。
神经网络方法适用于资源充足的情况。最新的NLP模型，如BERT、GPT和其他基于Transformer的模型，已经在很多语言任务中取得了非常好的效果，这些模型能够更加有效地捕捉语言的深层次语义，并处理长距离的依赖关系。
尽管如此，N-gram模型仍然在某些特定的简单任务中有其应用价值。本篇博客将介绍N-gram的基础理论。
语言模型
一个语言模型旨在构建单个字符串的概率分布 p ( s ) p(s) p(s)，其中 p ( s ) p(s) p(s)反映的是字符串 s s s作为一个句子出现的频率。例如，在一个口语化的语言模型中(这句话可以理解为'在一个语料库下'、'在一个数据集下')，"Okay"一词在每100个句子中大约出现一次，因此p("Okay")≈0.01。
对于一个由n个词构成的句子 s = w 1 w 2 . . . w n s = w_1w_2...w_n s=w1w2...wn，其概率可以用如下公式计算：
p ( S ) = p ( w 1 ) ⋅ p ( w 2 ∣ w 1 ) ⋅ p ( w 3 ∣ w 1 w 2 ) ⋅ . . . ⋅ p ( w n ∣ w 1 w 2 . . . w n − 1 ) p(S) = p(w_1) \cdot p(w_2|w_1) \cdot p(w_3|w_1w_2) \cdot ... \cdot p(w_n|w_1w_2...w_{n-1}) p(S)=p(w1)⋅p(w2∣w1)⋅p(w3∣w1w2)⋅...⋅p(wn∣w1w2...wn−1)
在上述公式中，生成第i个词的概率取决于它之前的i−1个词 w 1 w 2 . . . w i − 1 w_1w_2...w_{i-1} w1w2...wi−1，这个词序列被称为历史。随着历史长度的增加，有可能的历史组合数呈指数级增长。这样的话，我们也不可能算出来一个长句子的概率。
等价假设
由于历史在训练数据中的出现可能性极低，我们几乎无法直接从训练数据中准确估计出模型的参数。实际情况是，许多历史事件可能根本不会在训练数据中出现。为了克服这一问题，我们可以采用将历史映射到等价类的方法，其中等价类的数量远少于历史的数量。如果假设
p ( w i ∣ w 1 , w 2 , . . . , w i − 1 ) = p ( w i ∣ E ( w 1 , w 2 , . . . , w i − 1 ) ) p(w_i | w_{1}, w_2, ..., w_{i-1}) = p(w_i | E(w_{1}, w_2, ..., w_{i-1})) p(wi∣w1,w2,...,wi−1)=p(wi∣E(w1,w2,...,wi−1))
那么模型的自由参数数量将会显著减少。有多种方法可以将历史映射为等价类，其中一种实用的方法是将两个历史 w i − n + 2 , . . . , w i w_{i-n+2}, ..., w_{i} wi−n+2,...,wi和 u i − n + 2 , . . . , u i u_{i-n+2}, ..., u_{i} ui−n+2,...,ui映射到同一个等价类，当且仅当这两个历史的最近的n−1个词是相同的。
n元语法
符合上述条件的语言模型被称为n-gram或n-gram文法。通常情况下，n的取值不会太大，否则会造成等价类数量繁多，自由参数过多的问题仍旧存在。在实际应用中，通常采用n等于3的模型。当n为1时，即第i个词的出现独立于它之前的历史，此时的模型称为unigram；当n为2时，即第i个词的出现仅与其前一个词有关，此模型称为bigram，也就是一阶马尔可夫链；当n为3时，即第i个词的出现仅与其前两个词有关，此模型称为trigram，也就是二阶马尔可夫链。
以bigram为例，可以近似认为一个词的出现概率仅依赖于它前面的一个词:
为了让 p ( w i ∣ w i − 1 ) p(w_i | w_{i-1}) p(wi∣wi−1)在i为1时有意义，我们通常会在句子开头添加一个开始标记（BOS），并在句子结尾添加一个结束标记（EOS），以此包含在概率计算中。例如，要计算Mark wrote a book的概率，我们会这样计算：
p ( Mark wrote a book ) = p ( Mark ∣ BOS ) ⋅ p ( wrote ∣ Mark ) ⋅ p ( a ∣ wrote ) ⋅ p ( book ∣ a ) ⋅ p ( EOS ∣ book ) p(\text{Mark wrote a book}) = p(\text{Mark} | \text{BOS}) \cdot p(\text{wrote} | \text{Mark}) \cdot p(\text{a} | \text{wrote}) \cdot p(\text{book} | \text{a}) \cdot p(\text{EOS} | \text{book}) p(Mark wrote a book)=p(Mark∣BOS)⋅p(wrote∣Mark)⋅p(a∣wrote)⋅p(book∣a)⋅p(EOS∣book)
为了估计 p ( w i ∣ w i − 1 ) p(w_i | w_{i-1}) p(wi∣wi−1)，可以简单地计算在某一文本中单词w的频率，然后对其进行归一化。若用c表示在给定文本中的出现次数，我们可以使用如下公式：
p ( w i ∣ w i − 1 ) = c ( w i − 1 , w i ) ∑ w c ( w i − 1 , w ) p(w_i | w_{i-1}) = \frac{c(w_{i-1}, w_i)}{\sum_{w} c(w_{i-1}, w)} p(wi∣wi−1)=∑wc(wi−1,w)c(wi−1,wi)
上述公式即为最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。对于更高阶的n-gram模型，这一公式同样适用。
句子概率分布计算方式
下面这段代码是使用jieba进行中文分词和nltk计算bigrams（二元语法）的频率分布的简单例子，然后再用这个模型来计算另一个测试文本的联合概率。
python
import nltk
from nltk import ConditionalFreqDist
import jieba
# 示例文本
text = "哈哈你真好哈哈你不是学生哈哈我也不是"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)
# 生成bigrams
bi_grams = nltk.ngrams(tokens, 2)
# 计算频率分布
cfd = ConditionalFreqDist(bi_grams)
test_text = "你不是学生"
# 分词
test_tokens = list(jieba.cut(test_text))
# 计算频率分布
P = 1.0
for i, x in enumerate(test_tokens):
if i == len(test_tokens) - 1:
continue
P *= cfd[x].freq(test_tokens[i + 1])
print(P) # 0.5使用nltk.ngrams函数把分词后的词语生成二元语法序列。nltk.ngrams传入词语列表和n的值，返回一个字典，包含所有的n-grams序列。
创建ConditionalFreqDist实例cfd，将bigrams作为输入。ConditionalFreqDist类是用来计算每个条件（在bigrams中是第一个词）对应的事件（第二个词）的频率分布。上述代码中cfd值如下：
最后算得这个测试句子的概率是0.5。但是这段代码有个假设： 没有考虑bigram出现次数为0的情况，这在实际应用中可能会导致概率为0。所以我们要使用平滑技术来处理这个问题。
举个具体例子：由于语料库中'哈哈'后面没有出现过'真'，所以在计算含'哈哈真'序列的句子时会报错。
数据平滑
这里给大家演示nltk库提供的Lidstone和Laplace平滑。
上文说过，在统计语言模型中，如果一个n-gram在训练数据中从未出现过，它的概率将是零。这是不理想的，因为这意味着整个句子的概率也将是零，即使这个句子在现实中是可能出现的。Lidstone和Laplace平滑通过向计数中添加一个小的非零值来解决这个问题。
Lidstone平滑(1-gram)
Lidstone平滑是一种给每个计数添加一个小正数γ的方法。假设我们有一个词汇表V，大小为|V|，对于任何n-gram的计数c，平滑后的概率计算如下：
P L i d s t o n e ( w ) = c ( w ) + γ N + γ × ∣ V ∣ P_{Lidstone}(w) = \frac{c(w) + \gamma}{N + \gamma \times |V|} PLidstone(w)=N+γ×∣V∣c(w)+γ
其中：
- P L i d s t o n e ( w ) P_{Lidstone}(w) PLidstone(w)是词w的Lidstone平滑后的概率。
- c ( w ) c(w) c(w) 是词w在训练集中的原始计数。
- N N N是训练集中所有词的总计数。
- ∣ V ∣ |V| ∣V∣是词汇表的大小。
- γ \gamma γ是一个介于0和1之间的平滑参数。
Laplace平滑(1-gram)
Laplace平滑（又称为加一平滑）是Lidstone平滑的一个特例，其中γ=1。这意味着我们向每个n-gram的计数添加1，以避免任何n-gram的概率为零。平滑后的概率计算如下：
P L a p l a c e ( w ) = c ( w ) + 1 N + ∣ V ∣ P_{Laplace}(w) = \frac{c(w) + 1}{N + |V|} PLaplace(w)=N+∣V∣c(w)+1
在Laplace平滑中，向分母中添加整个词汇表的大小，以确保总概率和为1。
Laplace平滑假设所有未见的n-gram都有相同的概率，而Lidstone平滑则允许通过选择不同的γ值给未见的n-gram分配不同的概率。当γ趋近于0时，Lidstone平滑可以逼近未平滑的模型，而当γ增大时，可以逼近Laplace平滑。通过调整γ的值，Lidstone平滑提供了比Laplace平滑更多的灵活性。
附上两种平滑在1-gram下代码
python
import nltk
from nltk.probability import LidstoneProbDist, LaplaceProbDist
from nltk import FreqDist
import jieba
# 示例文本
text = "哈哈你真好，哈哈你不是学生，哈哈我也不是，我不能用学生证"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)
freq_dist = FreqDist(tokens)
# 使用Lidstone平滑
# gamma值小于1的Lidstone平滑
lidstone_estimator = LidstoneProbDist(freq_dist, gamma=0.1, bins=freq_dist.B())
print(f"'the'的Lidstone平滑概率: {lidstone_estimator.prob('the')}")
# 使用Laplace平滑
# Laplace平滑是gamma=1的特殊情况
laplace_estimator = LaplaceProbDist(freq_dist, bins=freq_dist.B())
print(f"'the'的Laplace平滑概率: {laplace_estimator.prob('the')}")计算方式就是套公式，每个词都是根据它的词频算的，很简单。但是我们更想算2元语法和3元语法，以2元语法举例，我们想算在词 w 1 w_1 w1下词 w 2 w_2 w2的概率，而不是1元语法词 w 2 w_2 w2的独立概率。所以要说到这两种平滑的2元语法形式。
说白了，1元是概率分布，2元以及更高是条件频率分布。
Lidstone平滑与Laplace平滑(2-gram)
Lidstone和Laplace平滑都可以用于任何n-gram模型，不仅限于1-gram（unigrams）。对于2-grams（bigrams）、3-grams（trigrams）或更高阶的n-grams，原理是相同的。区别在于你要如何定义条件和事件的关系。
对于bigrams来说，平滑不仅要应用到单个词，还要考虑词对的出现频率。假设我们有一个 b i g r a m ( w 1 , w 2 ) bigram (w_{1}, w_{2}) bigram(w1,w2)，其中 w 1 w_{1} w1 是第一个词， w 2 w_{2} w2 是第二个词。在未平滑的情况下，我们通常会计算 w 2 w_{2} w2 在 w 1 w_{1} w1 之后出现的次数，然后除以 w 1 w_{1} w1 出现的总次数来估计概率。但是，如果某个bigram在训练数据中从未出现过，就会遇到零概率问题。
为了平滑bigram模型，我们将Lidstone或Laplace平滑应用于这些计数。具体来说，对于Lidstone平滑， b i g r a m ( w 1 , w 2 ) bigram(w_{1}, w_{2}) bigram(w1,w2) 的概率可以这样计算：
P L i d s t o n e ( w 2 ∣ w 1 ) = c ( w 1 , w 2 ) + γ c ( w 1 ) + γ × ∣ V ∣ P_{Lidstone}(w_{2}|w_{1}) = \frac{c(w_{1}, w_{2}) + \gamma}{c(w_{1}) + \gamma \times |V|} PLidstone(w2∣w1)=c(w1)+γ×∣V∣c(w1,w2)+γ
对于Laplace平滑，bigram的概率则是：
P L a p l a c e ( w 2 ∣ w 1 ) = c ( w 1 , w 2 ) + 1 c ( w 1 ) + ∣ V ∣ P_{Laplace}(w_{2}|w_{1}) = \frac{c(w_{1}, w_{2}) + 1}{c(w_{1}) + |V|} PLaplace(w2∣w1)=c(w1)+∣V∣c(w1,w2)+1
在这里：
- c ( w 1 , w 2 ) c(w_{1}, w_{2}) c(w1,w2) 是 b i g r a m ( w 1 , w 2 ) bigram (w_{1}, w_{2}) bigram(w1,w2) 在训练集中的原始计数。
- c ( w 1 ) c(w_{1}) c(w1)是第一个词 w 1 w_{1} w1 在训练集中的原始计数。
- ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 是词汇表的大小，即不同词的数量。
对于bigrams或更高阶的n-grams，我们通常会有一个条件频率分布，其中每个条件（如 w 1 w_{1} w1）都有自己的频率分布。当应用Lidstone或Laplace平滑时，会分别更新这些条件分布中的每个概率。
附上两种平滑在2-gram下代码
python
import nltk
from nltk.probability import LidstoneProbDist, LaplaceProbDist
from nltk.corpus import brown
from nltk import FreqDist, ConditionalFreqDist
import jieba
# 示例文本
text = "哈哈你真好，哈哈你不是学生，哈哈我也不是，我不能用学生证"
# jieba分词
tokens = jieba.cut(text)
# 生成bigrams
bi_grams = list(nltk.ngrams(tokens, 2))
# 创建条件频率分布对象
cfd = ConditionalFreqDist(bi_grams)
# # 使用Lidstone平滑
# # gamma值小于1的Lidstone平滑
lidstone_cfd = {condition: LidstoneProbDist(cfd[condition], gamma=0.1) for condition in cfd.conditions()}
# 使用Laplace平滑
# Laplace平滑是gamma=1的特殊情况
laplace_cfd = {condition: LaplaceProbDist(cfd[condition]) for condition in cfd.conditions()}
def get_prob(test_text):
# 分词
test_tokens = list(jieba.cut(test_text))
# 计算频率分布
lidstone_P = 1.0
laplace_P = 1.0
for i, x in enumerate(test_tokens):
if i == len(test_tokens) - 1:
continue
lidstone_P *= lidstone_cfd[x].prob(test_tokens[i + 1])
laplace_P *= laplace_cfd[x].prob(test_tokens[i + 1])
print("Lidstone平滑句子概率：", lidstone_P, end=" ")
print("Laplace平滑句子概率：", laplace_P)
get_prob("你哈哈不是学生，你不能用学生证")
get_prob("学生哈哈不是你，你不能用学生证")输出如下：
可以看到在训练语料下，句子一概率更高，说明更合理一些。
变量lidstone_cfd的内容如下：
比较值得注意的一点就是，语料里面没有出现过'你哈哈不是'这样的序列，但是使用了平滑技术之后，我们的代码不会报错，而且最终概率也不为零了。平滑通过向计数中添加一个小的非零值来解决这个问题。