Day48 力扣动态规划 : 647. 回文子串 ｜516.最长回文子序列 ｜动态规划总结篇
- [647. 回文子串](#647. 回文子串)
- 516.最长回文子序列
- 动态规划总结篇
647. 回文子串
动态规划解决的经典题目，如果没接触过的话，别硬想 直接看题解。
https://programmercarl.com/0647.回文子串.html
第一印象
有点点难看起来，直接看题解把。
看完题解的思路
dp
这道题比较特殊，之前做的题，dp数组的定义一般都是题目求什么，就定义成什么。
这样的话这道题应该定义成过dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。
这道题的dp要定义成：dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
请看VCR：
我们判断 i j的位置是不是相同的，如果是相同的，只要 i+1 到 j-1 是回文，那么 i 到 j 就是回文的。
所以我们可以找到一种递归关系：如果想要判断 [i, j] 是不是回文的，就要去看[i + 1, j - 1] 是不是回文的。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
递推公式
总体上分为两种：
- s[I] s[j] 两个元素相同
- s[I] s[j] 两个元素不相同
这种情况肯定就直接 dp[i, j] 是false了，肯定不回文。
两个元素相同的情况就比较复杂一些
情况一：i 和 j 指向同一个元素，一定是回文的。
情况二：i 和 j 是挨着的，i + 1 = j 。比如 aa，bb这样的情况，肯定是回文的。
情况三：i 和 j 距离超过 1 了，j - i > 1。比如 acba，a和a相同，然后就需要去判断cb是不是回文的
java
if (s[i] == s[j]) {
if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
result++;
dp[i][j] = true;
} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
result++;
dp[i][j] = true;
}
}不用写不相等的情况了，因为初始化的时候就会默认都是 false。
初始化
全初始化为false，默认没有回文字串。
递归顺序
这道题的顺序就有说法了。
每个元素是用它左下角的元素推出来的。所以这个矩阵，行要从下向上遍历，列要从左到右遍历。
java
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) { // 注意遍历顺序
for (int j = i; j < s.size(); j++) {实现中的困难
无
感悟
I 和 j 基于 i+1 和 j-1 很容易理解。
但是我有点不理解倒序这个过程，他要求倒序只是从矩阵角度去看的。
从逻辑角度感觉看不出什么。
也能吧，如果正序的话，比如 i 是第二个元素，j 是第五个元素。他们相同，就需要看第三个到第四个元素是不是回文的。
但是呢，还没遍历到第三个元素，因为 i 才遍历到第二个元素。
如果倒序呢，i 遍历到第二个元素的时候就会遍历过第三个元素了。
感觉其实也是把矩阵里的事情用场景描述一下。
主要还是下面手动模拟体验一下，确实巧妙啊，用bcb的例子举例子，写在右边了。
代码
java
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
int length = s.length();
//dp
int[][] dp = new int[length][length];
int count = 0;
//init
//func
for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < length; j++) {
//当两个元素相同的时候才做，不相同就是默认的 0 不用管了
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
//距离 0 和 1 肯定ture
if ( i == j || i + 1 == j) {
dp[i][j] = 1;
count++;
} else {
//依赖于内部是不是回文
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
//是回文就count++
if (dp[i][j] == 1) count++;
}
}
}
}
return count;
}
}516.最长回文子序列
- 回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 大家要搞清楚两者之间的区别。 https://programmercarl.com/0516.最长回文子序列.html
第一印象
上一道题是连续的，这道题是子序列，可以不连续。
上一道题 i j 相等的话，就看 i + 1 和 j - 1 是不是回文，是的话 I j 就是回文的，然后用count记录回文数量。
这道题我觉得应该是i j 相等的话， 看 i + 1 到 j - 1 所有子串里面谁是回文的，求出回文子串里最大的长度。然后用length记录+2。
也可以直接在dp数组里赋值最大长度，长度为0代表不是回文，有长度就代表是回文，而且还有长度是多少。
诶，那上一道题是不是也可以dp数组赋值个数呢？？等会试试
我先试试这道题。
我的尝试遇到的问题
我写出了代码，能跑过大部分测试用例，但是会超时，因为找内部最大的长度这个过程时间复杂度太高了。我相当于嵌套4层for循环了。
找内部最大这个事情，我是从最长递增子序列那道题影响过来的，每次从连续问题变成子序列问题的时候，我都想要去找内部最大，而连续就是找上一个就行。
java
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
// dp
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
int length = 0;
//init
//func
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if(i == j) {
dp[i][j] = 1;
length = Math.max(dp[i][j], length);
} else if (i + 1 == j) {
dp[i][j] = 2;
length = Math.max(dp[i][j], length);
} else {
int maxLength = 0;
//找内部最大的长度
for (int m = i + 1; m <= j - 1; m++) {
for (int n = m; n <= j - 1; n++) {
maxLength = dp[m][n] > maxLength ? dp[m][n] : maxLength;
}
}
//没找到回文的
if (maxLength == 0) {
dp[i][j] = 0;
} else {
//最大长度是内部最大的 + 2
dp[i][j] = maxLength + 2;
length = Math.max(dp[i][j], length);
}
}
}
}
}
// for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
// for (int j = 0; j < s.length(); j++) {
// System.out.print(dp[i][j]);
// }
// System.out.println();
// }
//返回
return length;
}
}看完题解的思路
dp
和我想的一样，记录这个情况下最长的长度。
递推公式
看一下题解吧，看看怎么优化呢。
我有点明白了，因为dp数组的含义是，i 和 j的时候，最长的回文子序列长度。
其实直接 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 就可以。但我为什么像上面那么做呢？
因为虽然dp数组定义为最长的长度，但是找到最长 这个逻辑、这个过程得有啊。
所以我就每次都去找内部的最长，再给到i j，这就是最长的。
但从dp数组含义出发，元素相同时，就可以像上面那样直接dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
这样的话，找到最长的逻辑在哪呢？
答案是，在元素不相同的处理当中。
代码随想录的解释是
如果s[i]与s[j]不相同 ，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
这样就把寻找最长的逻辑转移到元素不相同的处理当中了。
java
if (s[i] == s[j]) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}初始化
要对对角线元素初始化，因为每个元素自己肯定是回文的。我觉得这个也可以像上一道题一样处理
java
//如果相等
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if(i == j) {
dp[i][j] = 1;
length = Math.max(dp[i][j], length);
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
length = Math.max(dp[i][j], length);
}这里我就没初始化，而是在递推公式里初始化了算是。
实现中的困难
无
感悟
我觉得我明白连续子序列 ---->> 零散子序列的操作了
之前受那道最长递增子序列影响颇深，导致我每次都想找最大。
其实应该对不相等的情况进行找最大，而相等的时候按 dp 数组含义可以直接写出来了。
还有一道题也是类似的，是编辑距离里面的某一道，我记不住了，不过还行，有比较深的体会了。
代码
java
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
// dp
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
int length = 0;
//init
//func
for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = i; j < s.length(); j++) {
//如果相等
if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
if(i == j) {
dp[i][j] = 1;
length = Math.max(dp[i][j], length);
} else {
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
length = Math.max(dp[i][j], length);
}
} else {
//如果不相等
dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
// for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
// for (int j = 0; j < s.length(); j++) {
// System.out.print(dp[i][j]);
// }
// System.out.println();
// }
//返回
return length;
}
}动态规划总结篇
总结可以直接看代码随想录了，我先做一下简单的总结。
动态规划感觉，一开始的一些题比较简单，属于用手就能模拟，比如爬楼梯那种，就给我一种数学归纳法的感觉。
后来到了背包问题，我觉得比较难理解，但我理解的还可以，做了不少总结。难在 dp 数组的理解、递推公式的理解、遍历顺序也会变。
然后打家劫舍，树形的打家劫舍不好弄，整体不算难。
股票问题，感觉很套路。难在 dp 数组的理解、递推公式的理解，遍历顺序就还好。
编辑距离，就是字符串上的一些操作，我也不理解为什么叫编辑距离。遍历顺序也是后面发生改变了。
最后就是回文子串的题。
dp问题给我的感觉就是每种问题五步走的难度是不一样的，大部分的都是难在
- dp数组的含义不会确定
- 递推公式关系找不到，这个我觉得是最关键的
- 遍历顺序不容易理解，其实遍历顺序也就正序逆序，两层for循环内外有没有区别（背包那里有区别）
- 初始化，绝大部分的初始化都是能一下子解决的，个别的偏难怪一些。
- 打印数组，这个其实就是通用操作了。
以上都是我过一遍脑子的回忆，下面去看看卡哥的总结。
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- 为了绝杀编辑距离，我做了三步铺垫，你都知道么？ (opens new window)
- 动态规划：回文子串 (opens new window)
- 动态规划：最长回文子序列 (opens new window)
卡哥的dp结束语
关于动规，还有 树形DP（打家劫舍系列里有一道），数位DP，区间DP ，概率型DP，博弈型DP，状态压缩dp等等等，这些我就不去做讲解了，面试中出现的概率非常低。
能把本篇中列举的题目都研究通透的话，你的动规水平就已经非常高了。 对付面试已经足够
我的结束语
看来我的回忆也没什么错
因为dp内容太大了，这里也很难对所有的都进行一个总结。
如果有机会，我也学着去画画这种思维导图吧。
dp！ 完结！ 撒花！！！🎉