【洛谷 P3853】[TJOI2007] 路标设置 题解(二分答案+递归)

[TJOI2007] 路标设置

题目背景

B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路,这条公路的某些地方设有路标,但是大家都感觉路标设得太少了,相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题,我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的"空旷指数"。

题目描述

现在政府决定在公路上增设一些路标,使得公路的"空旷指数"最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意,公路的起点和终点保证已设有路标,公路的长度为整数,并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

输入格式

第 1 1 1 行包括三个数 L , N , K L,N,K L,N,K,分别表示公路的长度,原有路标的数量,以及最多可增设的路标数量。

第 2 2 2 行包括递增排列的 N N N 个整数,分别表示原有的 N N N 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示,且一定位于区间 [ 0 , L ] [0,L] [0,L] 内。

输出格式

输出 1 1 1 行,包含一个整数,表示增设路标后能达到的最小"空旷指数"值。

样例 #1

样例输入 #1

101 2 1
0 101

样例输出 #1

51

提示

公路原来只在起点和终点处有两个路标,现在允许新增一个路标,应该把新路标设在距起点 50 50 50 或 51 51 51 个单位距离处,这样能达到最小的空旷指数 51 51 51。

50 % 50\% 50% 的数据中, 2 ≤ N ≤ 100 2 \leq N \leq 100 2≤N≤100, 0 ≤ K ≤ 100 0 \leq K \leq 100 0≤K≤100。

100 % 100\% 100% 的数据中, 2 ≤ N ≤ 100000 2 \leq N \leq 100000 2≤N≤100000, 0 ≤ K ≤ 100000 0 \leq K \leq100000 0≤K≤100000。

100 % 100\% 100% 的数据中, 0 < L ≤ 10000000 0 < L \leq 10000000 0<L≤10000000。


思路

check函数用于判断给定的距离x是否满足增设的新路标数大于k。函数中,prev表示上一个路标的位置,cnt表示已经增设的路标数。函数遍历数组arr,计算相邻路标之间的距离d。如果d大于x,则需要增设新路标。如果x大于d,则prev需要增加x-d的距离,并将i增加1。否则,prev直接增加x的距离。最后,如果增设的路标数cnt大于k,则返回true,否则返回false。

partition函数用于进行二分查找。函数接受两个参数l和r,表示二分查找的范围。如果l大于r,则说明已经找到了满足条件的最大距离,输出l并返回。否则,计算mid的值,并调用check函数判断mid是否满足条件。如果满足条件,则说明距离偏小,递归调用partition函数,将mid+1作为l,r不变。如果不满足条件,则说明距离偏大,递归调用partition函数,将l不变,mid-1作为r。

注意:在check函数中,如果x为0的话,说明每隔0个单位的距离就放置一个路标,这样相当于放置了无数个路标,进入死循环,导致测试点Subtask #1报TLE。进入循环前需要判断x是否为0,如果为0,则相当于放置了无数个路标,视为cnt > k,直接返回true。


AC代码

cpp 复制代码
#include <iostream>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 1e6 + 7;

// 公路长度,原路标数,最大新路标数
int len, n, k;
int arr[N];

bool check(int x) {
	int prev = arr[1];
	int cnt = 0;
	if (!x) {
		// 防死循环
		return 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n;) {
		int d = arr[i] - prev;
		if (d > x) {
			// 增设路标
			if (x > d) {
				prev += x - d;
				i++;
			} else {
				prev += x;
			}
			cnt++;
		} else {
			prev = arr[i];
			i++;
		}
	}
	// cout << x << " " << cnt << endl;
	return cnt > k;
}

void partition(int l, int r) {
	if (l > r) {
		cout << l << endl;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (check(mid)) {
		// 距离偏小
		partition(mid + 1, r);
	} else {
		// 距离偏大
		partition(l, mid - 1);
	}
}

int main() {
	cin >> len >> n >> k;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> arr[i];
	}
	partition(0, len);
	return 0;
}
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