线性方程组

线性方程组

设存在线性方程组
{ a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + ⋯ + a 1 , n x n = b 1 a 2 , 1 x 1 + a 2 , 2 x 2 + ⋯ + a 2 , n x n = b 2 ⋮ ⋮ a m , 1 x 1 + a m , 2 x 2 + ⋯ + a m , n x n = b m \left.\left\{\begin{array}{l}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\\vdots\quad\vdots\\a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_m\end{array}\right.\right. ⎩ ⎨ ⎧a1,1x1+a1,2x2+⋯+a1,nxn=b1a2,1x1+a2,2x2+⋯+a2,nxn=b2⋮⋮am,1x1+am,2x2+⋯+am,nxn=bm

为了简化书写写成矩阵形式
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) \left.\left(\begin{array}{llll|l}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{array}\right.\right) a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm

所以行数为方程组的个数，列数为未知数的个数

高斯消元法

主元不能为0，主元要消去主元下方的元素

高斯消元法时间复杂度需要 n 3 3 + n 2 − n 3 \frac{n^3}3+n^2-\frac n3 3n3+n2−3n次乘除法以及 n 3 3 + n 2 2 − 5 n 6 \frac{n^3}3+\frac{n^2}2-\frac{5n}6 3n3+2n2−65n次加减法

Gauss-Jordan method

Gauss-Jordan 方法在高斯消元法的基础上增加了两个规则

1. 主元必须是1
2. 主元上方和下方的所有的项都应被消去

即
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n b n ) Gauss-Jordan method → ( 1 0 ⋯ 0 s 1 0 1 ⋯ 0 s 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 s n ) \left.\left(\begin{array}{llll|l}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}&b_{n}\end{array}\right.\right) \underrightarrow{\text{Gauss-Jordan method}} \left.\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&\cdots&0&s_1\\0&1&\cdots&0&s_2\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&1&s_n\end{array}\right.\right) a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮annb1b2⋮bn Gauss-Jordan method 10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1s1s2⋮sn

其中Gauss-Jordan method的时间复杂度需要 n 3 2 + n 2 2 \frac{n^3}2+\frac{n^2}{2} 2n3+2n2次乘除法以及 n 3 3 − n 2 \frac{n^3}3-\frac{n}2 3n3−2n次加减法

部分主元法

在选择主元法过程中，在候选主元位置所在的列选择绝对值最大的数字作为主元，若不在主元位置则交换位置使其在主元的位置上

在部分主元法中只涉及到了行交换

完全主元法

在完全主元法过程中，在候选主元位置选择整个系数矩阵中绝对值最大的数字作为主元，若不在主元位置则交换位置使其在主元的位置上

在部分主元法中不只涉及到了行交换而且涉及到了列交换

修改后的高斯消元法

因为高斯消元法存在主元无法选择的可能，所以提出了修改

如
( 1 2 1 3 3 2 4 0 4 4 1 2 3 5 5 2 4 0 4 7 ) ⟶ ( 1 2 1 3 3 0 0 − 2 − 2 − 2 0 0 2 2 2 0 0 − 2 − 2 1 ) \begin{pmatrix}1&2&1&3&3\\2&4&0&4&4\\1&2&3&5&5\\2&4&0&4&7\end{pmatrix}\longrightarrow\begin{pmatrix}1&2&1&3&3\\0&0&-2&-2&-2\\0&0&2&2&2\\0&0&-2&-2&1\end{pmatrix} 12122424103034543457 ⟶ 100020001−22−23−22−23−221

矩阵的秩=矩阵的主元的个数=行阶梯型的非零行的个数=矩阵基本列的个数

其中矩阵的基本列卫矩阵主元所在的列

行阶梯型

主元下的元素为0，主元左侧的元素为0

行最简型

首先是行阶梯型，然后主元所在的列只有主元不为0，且主元为1

所以非主元所在的列可以由左边的主元所在的列线性组合而成，即
E ∗ k = μ 1 E ∗ b 1 + μ 2 E ∗ b 2 + ⋯ + μ j E ∗ b j = μ 1 ( 1 0 ⋮ 0 ⋮ 0 ) + μ 2 ( 0 1 ⋮ 0 ⋮ 0 ) + ⋯ + μ j ( 0 0 ⋮ 1 ⋮ 0 ) = ( μ 1 μ 2 ⋮ μ j ⋮ 0 ) \begin{aligned} \mathbf{E}{*k}& \begin{aligned}=\mu_1\mathbf{E}{*b_1}+\mu_2\mathbf{E}{*b_2}+\cdots+\mu_j\mathbf{E}{*b_j}\end{aligned} \\ &=\mu_1\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\mu_2\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+\mu_j\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\vdots\\\mu_j\\\vdots\\0\end{pmatrix} \end{aligned} E∗k=μ1E∗b1+μ2E∗b2+⋯+μjE∗bj=μ1 10⋮0⋮0 +μ2 01⋮0⋮0 +⋯+μj 00⋮1⋮0 = μ1μ2⋮μj⋮0
E ∗ k \mathbf{E}{*k} E∗k为非主元列， E ∗ b i \mathbf{E}{*b_i} E∗bi为 E ∗ k \mathbf{E}_{*k} E∗k左边的主元所在的列

a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 , ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0. \begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n&=0,\\\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n&=0.\end{aligned} a11x1+a12x2+⋯+a1nxna21x1+a22x2+⋯+a2nxn⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=0,=0,=0.

像这样的方程组被称为齐次方程组（homogeneous Systems）

当等号右边存在非零值时，被称为非齐次方程组（nonhomogeneous Systems）

当 x 1 = x 2 = ⋯ = x n = 0 x_1=x_2=\dots=x_n=0 x1=x2=⋯=xn=0，则被称为平凡解

基本列位置的未知数称为基本变量 （basic variables），对应于非基本列位置的未知数称为自由变量（free variables）

其中矩阵 A A A为齐次方程组时，其中 r a n k ( A ) = r rank(A)=r rank(A)=r，通解为 x = x f 1 h 1 + x f 2 h 2 + ⋯ + x f n − r h n − r x=x_{f1}h_1+x_{f2}h_2+\cdots+x_{fn-r}h_{n-r} x=xf1h1+xf2h2+⋯+xfn−rhn−r，其中 x f 1 , x f 2 , ... , x f n − r x_{f 1}, x_{f 2}, \ldots, x_{f n-r} xf1,xf2,...,xfn−r为自由变量。

其中矩阵 A A A为非齐次方程组时，其中 r a n k ( A ) = r < n rank(A)=r<n rank(A)=r<n，通解为 x = x f 1 h 1 + x f 2 h 2 + ⋯ + x f n − r h n − r + ξ x=x_{f1}h_1+x_{f2}h_2+\cdots+x_{fn-r}h_{n-r}+\xi x=xf1h1+xf2h2+⋯+xfn−rhn−r+ξ，其中 ξ \xi ξ为A的一个特解， x f 1 h 1 + x f 2 h 2 + ⋯ + x f n − r h n − r x_{f1}h_1+x_{f2}h_2+\cdots+x_{fn-r}h_{n-r} xf1h1+xf2h2+⋯+xfn−rhn−r为A为齐次方程组时候的通解。