1. 图的基本概念
1.1 图的定义
图 G由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系 (边) 集合。若V={V, V2,...,Vn}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E={(u, v) l u
V, vV}，用|E|表示图G中边的条数。
注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集
1.2 相关概念
- 无向图：若E是无向边 （简称边) 的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v)，因为（v,w)=(w,v)，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻援点。边(v,w)依附于顶点w和v，或者说边(v,w)和顶点v、w相关联。
- 有向图 ：若E是有向边(也称弧)的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v.w>，其中v、w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v.w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。<v, w>
<w, v>。 - **简单图：**① 不存在重复边； ② 不存在顶点到自身的边。
- 多重图：图G中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联,则G为多重图。
- 顶点的度 、入度、出度
① 对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)
在具有n个顶点、e条边的无向图中，
即：无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍
② 对于有向图：入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v);出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)，顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。
在具有n个顶点、e条边的有向图中，
即：有向图的全部顶点的入度的和与出度的和都等于边数，全部顶点的度的和等于边数的2倍。
其他的概念
- 连通图：若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图。
- 强连通图：若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。
- 子图：设有两个图G = (V, E)和G' = (V', E')，若V'是V的子集，且E'是E的子集，则称G'是G的子图。
- 连通分量：无向图的极大连通子图称为连通分量。要求：子图必须连通，且包含
尽可能多的顶点和边
- 强连通分量：有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。要求：子图必须强连通，同时保留尽可能多的边。
- **极小连通子图：**边尽可能的少， 但要保持连通
- 连通图的生成树（不唯一）：连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。要求：若图中顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
- **生成森林：**在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林
- 边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。
- 带权图/网：边上带有权值的图称为带权图，也称网。
- 带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。
- 无向完全图 ------无向图中任意两个顶点 之间都存在边，共
条边 - 有向完全图------有向图中任意两个顶点 之间都存在方向相反的两条弧,共n(n-1)条
- **稀疏图：**边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图，没有绝对的界限，
特殊形态的树：
树------不存在回路，且连通的无向图
有向树------一个顶点的入度为0、其余顶点的 入度均为1的有向图，称为有向树。
n个顶点的树，必有n-1条边。
2. 图的存储
2.1 邻接矩阵法
2.1.1 图的邻接矩阵定义
- 图的邻接矩阵(Adjacency Matrix) 存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
- 只要确定了顶 点编号，图的 邻接矩阵表示 方式唯一
无向图的度： 第i个结点的度 = 第i行（或第j列）的非零元素个数；
有向图的出度： 第i行的非零元素个数；
有向图的入度：第 i列的非零元素个数。
**有向图的度:**第i行的非零元素个数+ 第 i列的非零元素个数。
2.1.2 邻接矩阵法代码实现
cpp
#define MaxVertexNum 100 //顶点数目的最大值
#define INFINITY INT_MAX // 定义无穷值
typedef char VertexType; //顶点的数据类型
typedef int EdgeType; //带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
VertexType Vex[MaxVertexNum]; //顶点表
EdgeType Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; //邻接矩阵，边表
int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧树
}MGraph;2.1.3 性能分析：
数组实现的顺序存储，空间复杂度高，不适合存储稀疏图
（1）空间复杂度：
，只和顶点数相关，和实际的边数无关。，邻接矩阵法求顶点的度/出度/入度的时间复杂度为 O(|V|)
（2）适合用于存储稠密图。
（3）无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储 (只存储上三角区或者下三角区)。
邻接矩阵法的性质
设图G的邻接矩阵为A（矩阵元素为0/1），则An的元素An[i][j]等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目
A^2[1][4],顶点1, 4为点A和D,则由顶点A到顶点D的长度为2的路径只有1条
2.2 邻接表法 顺序+链式存储
2.2.1 性能分析：
**无向图：**边结点的数量是2|E|，整体空间复杂度为O(|V| + 2|E|)
**有向图：**边结点的数量是|E|， 整体空间复杂度为 O(|V| + |E|)
2.2.2 特点
- 更适合用于稀疏图；
- 若G为无向图，则顶点的度为该顶点边表的长度若G为有向图，则顶点的出度为该顶点边表的长度，计算入度需要遍历整个邻接表；
- 邻接表不唯一，边表结点的顺序根据算法和输入不同可能会不同。
2.2.3 代码实现
cpp
#define MAXVEX 100 //图中顶点数目的最大值
type char VertexType; //顶点类型应由用户定义
typedef int EdgeType; //边上的权值类型应由用户定义
/*边表结点*/
typedef struct EdgeNode{
int adjvex; //该弧所指向的顶点的下标或者位置
EdgeType weight; //权值，对于非网图可以不需要
struct EdgeNode *next; //指向下一个邻接点
}EdgeNode;
/*顶点表结点*/
typedef struct VertexNode{
Vertex data; //顶点域，存储顶点信息
EdgeNode *firstedge //边表头指针
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
/*邻接表*/
typedef struct{
AdjList adjList;
int numVertexes, numEdges; //图中当前顶点数和边数
}2.3 十字链表
十字链表是有向图的一种链式存储结构
2.3.1 问题引入 与解决
2.3.2 十字链表法性能分析
空间复杂度：O(|V|+|E|)
邻接表找顶点的入 边不方便，邻接矩阵空间复杂度 高 O(|V|2)
- 如何找到指定顶点的所有出边？------顺着绿色线路找
- 如何找到指定顶点的所有入边？------顺着橙色线路找
注意：十字链表只用于存储有向图
2.3.3 代码实现
cpp
#define MAX_VERTEX_NUM 20 //最大顶点数量
struct EBox{ //边结点
int i,j; //该边依附的两个顶点的位置（一维数组下标）
EBox *ilink,*jlink; //分别指向依附这两个顶点的下一条边
InfoType info; //边的权值
};
struct VexBox{
VertexType data;
EBox *firstedge; //指向第一条依附该顶点的边
};
struct AMLGraph{
VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM];
int vexnum,edgenum; //无向图的当前顶点数和边数
};2.4 邻接多重表存储无向图
邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构。
2.4.1 问题引入 与解决
邻接矩阵存储无向图、空间复杂度高 O(|V|2)，邻接表存储无向图每条边对应两份冗余信息， 删除顶点、删除边等操作 时间复杂度高
2.4.2 性能分析：
空间复杂度：O(|V|+|E|)
**优点：**删除边、删除节点等操 作很方便
**注意：**邻接多重表只适 用于存储无向图
2.4.3 四种存储方法比较：
