平面拟合
1、平面拟合
PCA 是一种数学变换的方法，利用降维的思想在变换中保持变量的总方差不变，将给定的一组变量线性变换为另一组不相关的变量，并且使变换后的第一变量的方差最大，即第一主成分，其他分量的方差依次递减。在点云数据中的变量为三维点坐标的集合，其变量为X、Y、Z 三个坐标值，则经过变换后，应有三个主成分，对于一个空间平面，在平行于平面的方向上点集分布最为离散，方差最大，在垂直于平面的方向上，点集分布最为集中，方差最小，即空间平面的第三主成分为垂直于空间平面的向量。由于平面拟合最关键的为法向量的拟合，利用PCA 得到点集的第三主成分，即能进一步拟合出平面方程，如图1 所示。
图1 PCA变换原理
对于在坐标系XYZ 下的待拟合平面点云，利用主成分分析法对其进行分析，可得到三个按照从大到小排列的特征值 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 λ_1、λ_2、λ_3 λ1、λ2、λ3，对应的主分量分别为 V 1 、 V 2 、 V 3 V_1、V_2、V_3 V1、V2、V3，其中 V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2组成了待拟合平面的一组基， V 3 V_3 V3与 V 1 V_1 V1、 V 2 V_2 V2正交，为垂直于待拟合平面的法向量。如图1，在XYZ 坐标系下的点云，经过主成分分析后，三个主成分分量 V 1 、 V 2 、 V 3 V_1、V_2、V_3 V1、V2、V3组成了新坐标系 X ′ Y ′ Z ′ X'Y'Z' X′Y′Z′的三个基， V 1 V_1 V1和 V 2 V_2 V2为平面 X ′ O ′ Z ′ X'O'Z' X′O′Z′的一组基， V 3 V_3 V3为 O ′ Z ′ O'Z' O′Z′方向的基，即所拟合平面的法向量。
PCA 过程如下:
( 1) 特征中心化。即每一维的数据都减去该维的均值，变换之后每一维的均值都变成了零。特征中心化后的点集 P P P，如式( 1) ，其中， x i 、 y i 、 z i x_i、y_i、z_i xi、yi、zi为中心化后点坐标:
P = [ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ⋮ ⋮ ⋮ x n y n z n ] (1) P=\left[ \begin{matrix} x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ x_n & y_n & z_n \end{matrix} \right] \tag{1} P= x1x2⋮xny1y2⋮ynz1z2⋮zn (1)
(2) 计算三个坐标的协方差矩阵。协方差矩阵 C C C为:
C = [ c o v ( x , x ) c o v ( x , y ) c o v ( x , z ) c o v ( y , x ) c o v ( y , y ) c o v ( y , z ) c o v ( z , x ) c o v ( z , y ) c o v ( z , z ) ] (2) C=\left[ \begin{matrix} cov(x,x) & cov(x,y) & cov(x,z)\\ cov(y,x) & cov(y,y) & cov(y,z) \\ cov(z,x) & cov(z,y) & cov(z,z) \end{matrix} \right] \tag{2} C= cov(x,x)cov(y,x)cov(z,x)cov(x,y)cov(y,y)cov(z,y)cov(x,z)cov(y,z)cov(z,z) (2)
其中， c o v ( x ， y ) cov( x，y) cov(x，y) 为 x x x 坐标和 y y y 坐标的协方差， c o v ( x ， x ) cov( x，x ) cov(x，x) 为 x x x坐标的方差，协方差计算公式如式( 3) ， x i 、 y i x_i、y_i xi、yi为中心化后点坐标:
c o v ( x , y ) = ∑ i = 1 n x i y i n − 1 (3) cov(x,y)=\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i}{n-1}\tag{3} cov(x,y)=n−1∑i=1nxiyi(3)
当协方差大于零时说明 x x x和 y y y是正相关关系，协方差小于零时 x x x和 y y y是负相关关系，协方差为零时 x x x和 y y y相互独立。
( 3) 计算协方差矩阵 C C C的特征值和特征向量。所计算出来的特征值按照从大到小排序，分别为 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 λ_1、λ_2、λ_3 λ1、λ2、λ3，其所对应的特征向量分别为 ξ 1 、 ξ 2 、 ξ 3 ξ_1、ξ_2、ξ_3 ξ1、ξ2、ξ3。显然，两个较大 λ λ λ 所对应的特征向量 ξ 1 、 ξ 2 ξ_1、ξ_2 ξ1、ξ2为待拟合平面的一组基，而 ξ 3 ξ_3 ξ3为待拟合平面的法向量，其三个分量分别为 a 、 b 、 c a、b、c a、b、c。
若已知待拟合平面经过点 p ( x 0 ， y 0 ， z 0 ) p( x_0，y_0，z_0) p(x0，y0，z0) ，则拟合平面为式( 4) :
a ( x － x 0 ) + b ( y － y 0 ) + c ( z － z 0 ) = 0 (4) a( x－x_0) +b( y－y_0) +c( z－z_0) = 0\tag{4} a(x－x0)+b(y－y0)+c(z－z0)=0(4)
否则，取其均值作为平面上点 p ( x ˉ , y ˉ , z ˉ ) p(\bar{x},\bar{y},\bar{z}) p(xˉ,yˉ,zˉ) 进行拟合。
采用主成分分析法拟合平面的方法，对于存在噪声点的情况，也能很好的拟合出结果。因为在一个平面点云中，噪声点偏离平面的距离相对于平面的范围较小，对拟合结果的影响可以忽略。
2、参考文献
[1]叶玲洁;颜远青. 基于PCA算法的机载LiDAR点云平面分割算法研究 [J]. 城市勘测, 2018, (01): 41-44+51.