集合里的乘法
题目描述
给定一个目标数T和一个整数集合S,判断是否存在S的一个非空子集,子集中的数相乘的积为T。
关于输入
输入为两行。
第一行为目标数T,和S中的元素个数N,以空格隔开。
第二行为S中的N个元素,以空格隔开。
其中 N <= 16。
关于输出
如果可以,则输出YES,否则输出NO。
例子输入
12 5
1 2 3 4 5
例子输出
YES
解题分析
这个算法的核心思想是使用深度优先搜索(DFS)遍历所有可能的子集,并计算它们的乘积。如果找到一个子集的乘积等于目标数,就返回YES,否则返回NO。
以下是该算法的详细步骤:
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首先,我们读取目标数T和集合S的元素。集合S的元素被存储在一个数组中,数组的索引从0开始。
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然后,我们调用深度优先搜索函数`dfs`,开始时的索引为0,乘积为1。这意味着我们从集合的第一个元素开始搜索,初始的乘积是1(因为任何数乘以1都等于它自己)。
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在`dfs`函数中,我们首先检查是否已经找到了解决方案(`flag`是否为1)或者当前乘积是否已经超过了目标数T。如果是的话,我们就直接返回,不再继续搜索。这是一种剪枝策略,可以避免无效的搜索,提高算法的效率。
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然后,我们检查当前的乘积是否等于目标数,如果是的话,我们就设置`flag`为1并返回。这表示我们已经找到了一个满足条件的子集。
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如果当前的索引已经达到了集合的大小,这意味着我们已经遍历了所有的元素,但还没有找到满足条件的子集,所以我们就返回。
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否则,我们对当前索引的元素有两种选择:一是选择它(将它乘入当前的乘积),二是不选择它(保持当前的乘积不变)。我们对这两种选择都进行搜索。这是深度优先搜索的核心步骤,通过递归调用`dfs`函数,我们可以遍历所有可能的子集。
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在主函数中,如果`flag`为1,说明我们找到了一个解决方案,输出YES。否则,输出NO。
这个算法的时间复杂度是O(2^n),其中n是集合的大小。因为对于集合中的每一个元素,我们都有两种选择:选择它或者不选择它。所以总共有2^n种可能的子集。由于题目中给出集合的大小不超过16,所以这个算法在时间上是可行的。
代码实现
cpp
#include <stdio.h>
int N;
long long T, S[16];
char flag;
void dfs(int index, long long product) {
if (flag || product > T) return;
if (product == T) {
flag = 1;
return;
}
if (index == N) return;
dfs(index + 1, product * S[index]);
dfs(index + 1, product);
}
int main() {
scanf("%lld %d", &T, &N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
scanf("%lld", &S[i]);
}
dfs(0, 1);
if (flag) {
printf("YES\n");
} else {
printf("NO\n");
}
return 0;
}