二阶变系数线性微分方程

1、变量替换法

欧拉方程

是常数,是已知的函数。

二阶欧拉方程

(1)

时,令,则

代入(1)中,

.这样就把欧拉方程,化成了二阶常系数非齐次微分方程

当x<0时,令,

例题

解:令,则

代入上面的推导得

所以

2、降阶法

(1)

齐次线性微分方程都是有解的

设(1)有一个已经的非零解

令y=u,其中u=u(x)是一个待定函数。

代入(1)

因为是解,代入(1)中,公式恒成立,所以

成立

所以

转换成一个以u为函数,x自变量的二阶微分方程。

阶数没有阶,再次引入新的变量

转换成一个以z为函数,x自变量的一阶可分离变量方程。

两边求积分

z=0 也是解,即的情形

所以

所以(1)的通解为

刘维尔公式

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