1、变量替换法
欧拉方程

是常数,
是已知的函数。
二阶欧拉方程
(1)
当时,令
,则


代入(1)中,

.这样就把欧拉方程,化成了二阶常系数非齐次微分方程
当x<0时,令,

例题

解:令,则
代入上面的推导得



所以

2、降阶法
(1)
齐次线性微分方程都是有解的
设(1)有一个已经的非零解,
令y=u,其中u=u(x)是一个待定函数。
则

代入(1)

因为是解,代入(1)中,公式恒成立,所以
成立
所以

转换成一个以u为函数,x自变量的二阶微分方程。
阶数没有阶,再次引入新的变量
令

转换成一个以z为函数,x自变量的一阶可分离变量方程。

两边求积分


z=0 也是解,即
的情形
所以
所以(1)的通解为
刘维尔公式