一 什么是回溯算法
回溯算法（Backtracking Algorithm）是一种用于解决组合优化问题的算法，它通过逐步构建候选解并进行验证，以寻找所有满足特定条件的解。回溯算法通常应用于在给定约束条件下枚举所有可能解的问题，如组合、排列、子集等。
回溯算法的基本思想是通过递归的方式进行搜索，每一步都尝试扩展当前的解，直到找到满足条件的解或者确定无解。在搜索的过程中，如果当前的解不满足约束条件，就会回溯到上一步进行其他选择，继续搜索。
回溯算法的一般步骤如下：
- 定义问题的解空间，确定问题的约束条件。
- 通过递归的方式搜索解空间，每一步都进行选择，并进行约束条件的检查。
- 如果当前的选择满足约束条件，则继续递归地进行下一步选择。
- 如果当前的选择不满足约束条件，进行回溯，撤销当前选择，返回上一步继续搜索其他选择。
- 当搜索完成后，得到所有满足条件的解。
回溯算法的时间复杂度通常较高，因为它需要枚举所有可能的解。在某些情况下，可以通过剪枝等优化策略来减少搜索空间，提高算法效率。
回溯算法在很多问题中都有应用，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的遍历等。它是一种非常经典和常用的算法思想，对于解决组合优化问题具有重要的作用。
通常解该类题目时，我们要确定解的空间，从而很好的利用回溯算法来解决该类题目。
二 何为解空间
解空间（Solution Space）是指在给定问题的约束条件下，所有可能的解的集合。它包含了问题的所有合法解。
解空间的具体形式取决于问题的性质和约束条件。对于某些问题，解空间可能是一个有限的集合，例如在数独游戏中，解空间是由符合数独规则的所有数字填充方案组成的集合。而对于其他问题，解空间可能是一个无限的集合，例如在连续优化问题中，解空间是由实数构成的无限维空间。
解空间是问题求解的关键概念之一。在解决问题时，我们通常需要在解空间中搜索满足特定条件的解。回溯算法、枚举法、剪枝算法等求解方法都是基于对解空间的搜索。
解空间的大小直接影响了问题的复杂性和求解算法的效率。如果解空间非常大，问题的求解可能会非常困难，需要耗费更多的时间和资源。因此，在实际应用中，优化算法常常通过剪枝、启发式搜索等技术来减小解空间的规模，以提高求解效率。
总之，解空间是问题求解中描述所有可能解的概念，通过搜索解空间，我们可以找到满足问题要求的解或者找到最优解。
对于大多数该类问题的解空间都是树的形式，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成的树的深度。
三 回溯算法的模板
下面是回溯算法的一般模板：
void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放结果;
return;
}
for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {//横向遍历
处理节点;//这里一般可能进行剪枝操作
backtracking(路径，选择列表); // 递归，纵向遍历
回溯，撤销处理结果
}
}
这是一个基本的回溯算法模板，其中的关键点包括：
-
定义终止条件：当满足终止条件时，表示找到了一个解或者不再需要继续搜索，可以进行相应的操作，如输出结果或返回。
-
遍历选择列表：遍历所有可能的选择，通常使用循环结构，对于每个选择，进行相应的操作。
-
做出选择：根据当前选择，更新状态或路径，表示对问题的一次选择。
-
递归进入下一层决策树：根据当前选择，进入下一层决策树，即进行下一步的选择。
-
撤销选择：在回溯到上一层之前，需要撤销当前选择，恢复状态或路径，以便进行下一个选择。
在实际应用中，根据具体问题的不同，模板中的代码需要进行相应的修改和扩展，以适应问题的特点和约束条件。同时，通过剪枝、优化等技巧，可以对模板进行改进，提高算法的效率。
需要注意的是，回溯算法是一种暴力搜索的方法，解空间的规模很大时，可能会导致算法效率低下。因此，在使用回溯算法时，需要根据问题的规模和特点进行合理的优化和剪枝，以提高算法的性能。
四 回溯算法例题之N皇后问题
按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n 皇后问题 研究的是如何将
n个皇后放置在n×n的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。给你一个整数
n，返回所有不同的 n皇后问题 的解决方案。每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中'Q'和'.'分别代表了皇后和空位。
4*4的棋盘摆放结果如下：
解题思路：
定义一个 N × N 的棋盘，使用一个二维数组或其他数据结构表示。初始化棋盘的所有位置为空。
从第一行开始，逐行放置皇后。对于每一行，遍历该行的每一个位置，尝试将皇后放置在当前位置。
在放置皇后之前，检查是否满足以下条件：
- 当前位置的同一列没有其他皇后。
- 当前位置的左上方和右上方（对角线）没有其他皇后。
如果满足上述条件，将皇后放置在当前位置，并将该位置标记为已占用。
继续递归地处理下一行，重复步骤 3 和步骤 4。
如果已经放置了 N 个皇后，表示找到了一个可行解，将该解保存起来。
回溯到上一步，撤销对当前位置的选择，继续尝试下一个位置。
当所有的位置都尝试完毕或者已经找到了所有的可行解时，算法结束。
返回所有的可行解。
我们先以3*3的棋盘来看它的解空间，如图所示：
不难看出解空间对应的是树的结构，我们可以套用模板进行解决：
void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){
if(row>=n){//递归出口
print(bord,n);//如果满足直接打印结果
count++;//用来记录解的数量
printf("\n");
return ;
}else{
for(int colum=0;colum<n;colum++){//横向遍历
if(isselect(bord,row,colum,n)){//如果满足放置条件
bord[row][colum] = 'Q';
Backtrack(bord,n,row+1);//进行递归，选择下一行的格子
bord[row][colum] = '*';//回溯
}
}
}
}
【完整代码】
#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>
#define N 100
int count=0;
void print(char bord[][N],int n){
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
if(bord[i][j] == 'Q'){
printf(" Q");
}else{
printf(" *");
}
}
printf("\n");
}
}
bool isselect(char bord[][N], int row, int colum,int n) {
for(int j=0;j<row;j++){//判断列
if(bord[j][colum]=='Q'){
return false;
}
}
for(int i=row,j=colum;i>=0&&j>=0;i--,j--){//判断左上角
if(bord[i][j]=='Q'){
return false;
}
}
for(int i=row,j=colum;i>=0&&j<n;i--,j++){//判断右上角
if(bord[i][j]=='Q'){
return false;
}
}
return true;
}
void Backtrack(char bord[][N],int n,int row){
if(row>=n){
print(bord,n);
count++;
printf("\n");
return ;
}else{
for(int colum=0;colum<n;colum++){
if(isselect(bord,row,colum,n)){
bord[row][colum] = 'Q';
Backtrack(bord,n,row+1);
bord[row][colum] = '*';
}
}
}
}
int main()
{
int n;
printf("请输入皇后个数：\n");
scanf("%d",&n);
char bord[N][N]={'*'};
printf("皇后摆放形式如下：\n");
Backtrack(bord,n,0);
printf("%d后问题共有%d种摆放方案 ",n,count);
return 0;
}
【运行效果】
部分资料参考：代码随想录；