问题描述
给定一个图（有向图或无向图） G = ( V , E ) G = (V, E) G=(V,E)， V V V是图中点的集合， E E E是图中边的集合，图中每条边 ( i , j ) ∈ E (i, j) \in E (i,j)∈E都对应一个权重 c i j c_{ij} cij（距离或者运输成本等），给定一个起点 u u u和一个终点 z z z，最段路问题就是寻找一条从 s s s出发，到达 z z z的距离最短或者成本最低的路径。
数学建模
定义：
I I I：点的集合；
o u t ( i ) out(i) out(i)：离开点 i i i边的集合；
i n ( i ) in(i) in(i)：进入点 i i i边的集合；
x e x_e xe：是否选择 e e e这条边，0-1变量；
m i n ∑ e ∈ E x e c e s . t . ∑ e ∈ o u t ( i ) x e − ∑ e ∈ i n ( i ) x e = { 1 , i = u − 1 , i = z 0 , e l s e min \sum_{e \in E}x_ec_e \\ s.t. \sum_{e \in out(i)}x_e - \sum_{e \in in(i)}x_e= \begin{cases} 1, i=u \\ -1, i=z \\ 0, else \end{cases} mine∈E∑xeces.t.e∈out(i)∑xe−e∈in(i)∑xe=⎩ ⎨ ⎧1,i=u−1,i=z0,else
上述模型优化目标为最小化路径距离，约束为进出平衡（分了3种点的类型去写约束：始发点只出不进、目的点只进不出、其他点进等于出）。
整数最优解特性
即使把变量 x e x_{e} xe松弛成 0 ≤ x e ≤ 1 0 \leq x_e \leq1 0≤xe≤1，原问题变成线性规划，该问题仍然存在整数最优解。
模型求解
调用求解器求解即可。
- 后面补充代码。
参考资料
- 最短路径问题.
- 运筹优化常用算法、模型及案例实战：Python+Java 实现. 刘兴禄，熊望祺，臧永森，段宏达，曾文佳，陈伟坚.