Burnside 引理与 Pólya 定理学习笔记

为了防止明天就把好不容易听完的东西都还给 rabbit_lb 了，还是记一点吧。

1. 群论基础

1.1 群(group) 的定义

给定集合 G G G 和 G G G上的二元运算 ⋅ \cdot ⋅，满足下列条件称之为群：

封闭性：若 a , b ∈ G a,b\in G a,b∈G，则 a ⋅ b ∈ G a\cdot b\in G a⋅b∈G。
结合律：对于任意 a , b , c ∈ G a,b,c\in G a,b,c∈G，有 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)。
单位元：存在单位元 e ∈ G e\in G e∈G， ∀ a ∈ G , a ⋅ e = e ⋅ a = a \forall a\in G,\, a\cdot e=e\cdot a=a ∀a∈G,a⋅e=e⋅a=a。
逆元：对于任意 a ∈ G a\in G a∈G，存在 b ∈ G b\in G b∈G，使得 a ⋅ b = b ⋅ a = e a\cdot b=b\cdot a=e a⋅b=b⋅a=e。记为 b = a − 1 b=a^{-1} b=a−1。

1.2 一些概念

群元素个数有限则称为有限群 ，无限则称为无限群。
有限群 G G G 的元素个数叫做群的阶，记做 ∣ G ∣ |G| ∣G∣。
设 G G G 和 G G G上的二元运算 ⋅ \cdot ⋅ 构成一个群， H H H 是 G G G 的子集，且 H H H 在原有运算下也是一个群，则 H H H 为 G G G 的一个子群。
若群 G G G 的任意两元素均满足交换律，则称 G G G 为交换群（Abel 群）。

1.3 群的性质

单位元唯一： e 1 e 2 = e 1 = e 2 e_1e_2=e_1=e_2 e1e2=e1=e2
消去律： a b = a c ⇒ b = c ab=ac\Rightarrow b=c ab=ac⇒b=c
每个元的逆元唯一：反证，若 a a − 1 = a − 1 a = e , a b − 1 = a − 1 b = e aa^{-1}=a^{-1}a=e,\, ab^{-1}=a^{-1}b=e aa−1=a−1a=e,ab−1=a−1b=e，则 a a − 1 = a b − 1 aa^{-1}=ab^{-1} aa−1=ab−1，即 a − 1 = b a^{-1}=b a−1=b。
若 G G G 有限，且 a ∈ G a\in G a∈G，则存在最小正整数 r r r，使得 a r = e a^r=e ar=e，且 a − 1 = a r − 1 a^{-1}=a^{r-1} a−1=ar−1。 r r r 称为 a a a 的阶。

2. 置换群

2.1 置换

[ 1 , n ] [1,n] [1,n] 到自身的一个映射称为 n n n 阶置换 ，表示为 ( 1 2 ... n a 1 a 2 ... a n ) \begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix} (1a12a2......nan)，其中 a 1 , a 2 , ... , a n a_1,a_2,\dots,a_n a1,a2,...,an 是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 的一个排列。

n n n 阶置换共有 n ! n! n! 个，同一个置换有 n ! n! n! 中表示方法，如 p 1 = ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) = ( 3 1 4 2 2 3 4 1 ) p_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1&4&2\\2&3&4&1\end{pmatrix} p1=(13213244)=(32134421)。 n n n 阶置换也可以看作 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上的一元运算。

设 P 1 = ( 1 2 ... n a 1 a 2 ... a n ) , P 2 = ( 1 2 ... n b 1 b 2 ... b n ) P_1=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix},\, P_2=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\b_1&b_2&\dots&b_n\end{pmatrix} P1=(1a12a2......nan),P2=(1b12b2......nbn)，则定义置换乘法 P 1 P 2 = ( 1 2 ... n b a 1 b a 2 ... b a n ) P_1P_2=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\b_{a_1}&b_{a_2}&\dots&b_{a_n}\end{pmatrix} P1P2=(1ba12ba2......nban)。

置换乘法不满足交换律，但满足结合律。

2.2 置换群

[ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上由多个置换组成的集合，在 2.1 的乘法定义下构成的群，称为置换群。

封闭性： ( 1 2 ... n a 1 a 2 ... a n ) ( a 1 a 2 ... a n b 1 b 2 ... b n ) = ( 1 2 ... n b 1 b 2 ... b n ) \begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1&a_2&\dots & a_n\\b_1&b_2&\dots&b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\b_1&b_2&\dots&b_n\end{pmatrix} (1a12a2......nan)(a1b1a2b2......anbn)=(1b12b2......nbn)
结合律：由 2.1 知置换乘法满足结合律。
单位元： e = ( 1 2 ... n 1 2 ... n ) e=\begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\1&2&\dots&n\end{pmatrix} e=(1122......nn)
逆元： ( 1 2 ... n a 1 a 2 ... a n ) − 1 = ( a 1 a 2 ... a n 1 2 ... n ) \begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}a_1&a_2&\dots & a_n\\1&2&\dots&n\end{pmatrix} (1a12a2......nan)−1=(a11a22......ann)

[ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上的所有（ n ! n! n! 个）置换构成的群，称为 n n n 阶对称群 ，记作 S n S_n Sn。平时所说的 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上的一个置换群，一定是 S n S_n Sn的子群。

2.3 循环

2.3.1 置换的循环表示

置换 ( 1 2 ... n a 1 a 2 ... a n ) \begin{pmatrix}1&2&\dots & n\\a_1&a_2&\dots&a_n\end{pmatrix} (1a12a2......nan) 可以写作 ( 1 , a 1 , a a 1 , ... ) ( ... ) (1,a_1,a_{a_1},\dots)(\dots) (1,a1,aa1,...)(...) 的形式，称为置换的循环表示 。E.g. ( 1 2 3 4 5 3 1 2 5 4 ) = ( 132 ) ( 45 ) \begin{pmatrix}1&2&3 & 4&5\\3&1&2&5&4\end{pmatrix}=(132)(45) (1321324554)=(132)(45)， ( 1 2 3 4 5 5 2 3 1 4 ) = ( 154 ) ( 2 ) ( 3 ) \begin{pmatrix}1&2&3 & 4&5\\5&2&3&1&4\end{pmatrix}=(154)(2)(3) (1522334154)=(154)(2)(3)。

( a 1 a 2 ... a m ) (a_1a_2\dots a_m) (a1a2...am) 称为 m m m 阶循环，有 m m m 种表示方法。

通常情况下，我们可以忽略所有阶为 1 1 1 的循环。两个不相交的循环之间满足交换律。

定理：任意置换可表示成若干不相交循环的积。

证明：考虑令置换 i i i 向 a i a_i ai 连边，图由若干个环构成。显然每个环都可以表示成一个循环。

2.3.2 共轭类

我们设置换 p p p 的循环表示为 $p=(a_1a_2\dots a_{k_1})(b_1,b_2\dots b_{k_2})\dots (h_1h_2\dots h_{k_n})，其中 $ ∑ i = 1 n k i = n \sum\limits_{i=1}^n k_i=n i=1∑nki=n。设 k k k 阶循环出现的次数为 c k c_k ck。

那么置换 p p p 的格式为 ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ... ( n ) c n (1)^{c_1}(2)^{c_2}\dots(n)^{c_n} (1)c1(2)c2...(n)cn。E.g. ( 1 ) ( 23 ) ( 4567 ) (1)(23)(4567) (1)(23)(4567) 的格式为 ( 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 4 ) 1 (1)^1(2)^1(4)^1 (1)1(2)1(4)1。

则 S n S_n Sn 中所有相同格式的置换构成一个共轭类。

定理： S n S_n Sn 中 ( 1 ) c 1 ( 2 ) c 2 ... ( n ) c n (1)^{c_1}(2)^{c_2}\dots(n)^{c_n} (1)c1(2)c2...(n)cn 所在的共轭类元素个数为 n ! ( c 1 ! c 2 ! ... n ! ) ( 1 c 1 2 c 2 ... n c n ) \dfrac{n!}{(c_1!c_2!\dotsc_n!)(1^{c_1}2^{c_2}\dots n^{c_n})} (c1!c2!...n!)(1c12c2...ncn)n!。

可以这样理解这个式子：

一个长度为 i i i 的循环共有 i i i 种表示， c i c_i ci 个长度为 i i i 的循环有 i c i i^{c_i} ici 种表示；
对互不相交的 c i c_i ci 个循环枚举全排列，共有 c i ! c_i! ci! 种表示。

2.3.3 对换与奇偶置换

2 2 2 阶循环叫做对换。

定理：任意循环都可以表示为若干对换的积。

推柿子：
( 1 2 3 ... n − 1 ) ( 1 n ) = ( 1 2 ... n − 1 2 3 ... 1 ) ( 1 2 ... n − 1 n n 2 ... n − 1 1 ) = ( 1 2 ... n − 1 n 2 3 ... n 1 ) = ( 1 2 ... n ) \begin{aligned} &(1\, 2\, 3\dots n-1)(1\, n)\\ =&\begin{pmatrix}1&2&\dots & n-1\\2&3&\dots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&\dots & n-1&n\\n&2&\dots&n-1&1\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}1&2&\dots & n-1&n\\2&3&\dots&n&1\end{pmatrix}\\ =&(1\,2\,\dots\,n) \end{aligned} ===(123...n−1)(1n)(1223......n−11)(1n22......n−1n−1n1)(1223......n−1nn1)(12...n)

那么进一步地，有分解 ( 12 ... n ) = ( 12 ) ( 13 ) ... ( 1 n ) (1 2\dots n)=(12)(13)\dots(1n) (12...n)=(12)(13)...(1n)。注意每个置换的分解不唯一。

若一个置换能分解为奇数个对换之积，则为奇置换 ；否则为偶置换。

Warning. 置换相乘的奇偶性类似于自然数加法，而非自然数乘法：奇 x 奇 = 偶，奇 x 偶 = 奇。

3. Burnside 引理

3.1 等价类与 k k k 不动置换类

设 G G G 是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上的一个置换群， k ∈ [ 1 , n ] k\in [1,n] k∈[1,n]。 G G G 中使 k k k 元素保持不变的置换全体，称为 k k k 不动置换类，记作 Z k Z_k Zk。

定理：置换群 G G G 的 k k k 不动置换类 Z k Z_k Zk 是 G G G 的子群。

封闭性： k k k 怎么置换都不动。
结合性：显然。
单位元： G G G 的单位元也在 Z k Z_k Zk 中。
逆元： Z k Z_k Zk 中的置换 p p p 在 G G G 中的逆元 p − 1 p^{-1} p−1 也在 Z k Z_k Zk 中。

置换 p i p_i pi 使图像 k k k 变为 l l l，则称 k k k 和 l l l 属于同一个等价类 。设 k k k 所在的等价类记为 E k E_k Ek。

如图，将正方形四个顶点红蓝染色，等价类个数为 6 6 6。（每行是一个等价类）

3.2 轨道稳定子定理

定理：设 G G G 是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 上的一个置换群， E k E_k Ek 是 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 在 G G G 的作用下包含 k k k 的等价类， Z k Z_k Zk 是 k k k不动置换类。有 ∣ E k ∣ ∣ Z k ∣ = ∣ G ∣ |E_k||Z_k |=|G| ∣Ek∣∣Zk∣=∣G∣。

证明：每个等价类有 ∣ E k ∣ |E_k| ∣Ek∣ 个元素，同时因为它们属于同一等价类，每个元素的 Z k Z_k Zk 相同。因此这些 Z k Z_k Zk 覆盖了整个 G G G，即每个等价类都有 ∣ E k ∣ ∣ Z k ∣ = ∣ G ∣ |E_k||Z_k |=|G| ∣Ek∣∣Zk∣=∣G∣。

3.3 Burnside 引理

将上式变形，有：
∑ k = 1 n ∣ Z k ∣ ∣ G ∣ = ∑ k = 1 n 1 ∣ E k ∣ \sum_{k=1}^n \frac{|Z_k|}{|G|}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{|E_k|} k=1∑n∣G∣∣Zk∣=k=1∑n∣Ek∣1

仔细想一下会发现 ∑ k = 1 n 1 ∣ E k ∣ \sum_{k=1}^n \frac{1}{|E_k|} ∑k=1n∣Ek∣1 就是等价类个数。

然而问题并没有解决，因为 Z k Z_k Zk 不好求。进一步地，我们定义 c 1 ( a k ) c_1(a_k) c1(ak) 表示在置换 a k a_k ak 的作用下不动点的个数，即长度为 1 1 1 的循环个数。那么等价类个数为：
l = 1 ∣ G ∣ ∑ j − 1 n c 1 ( a j ) l=\frac{1}{|G|}\sum_{j-1}^n c_1(a_j) l=∣G∣1j−1∑nc1(aj)

这个式子就是 Burnside 引理。

4. Pólya 定理

Pólya 定理是 Burnside 引理的推广，应用于 染色问题 的 循环同构 方案计数。

设 G = { P 1 , P 2 , ... , P g } G=\{P_1,P_2,\dots,P_g\} G={P1,P2,...,Pg} 是 n n n 个对象的一个置换群， C ( P k ) C(P_k) C(Pk) 是置换 P k P_k Pk 的循环的个数，用 m m m 种颜色对 n n n 个对象着色，着色方案数为
l = 1 ∣ G ∣ ∑ j = 1 g m C ( P j ) l=\frac{1}{|G|} \sum_{j=1}^g m^{C(P_j)} l=∣G∣1j=1∑gmC(Pj)

接下来用一个例题说明该定理的具体用法。

用火柴搭一个足球，有多少种方案？

Tips: 足球有 60 60 60 个顶点， 90 90 90 条棱， 12 12 12 个五边形， 20 20 20 个六边形。

不动： 1 1 1 种置换， 2 90 2^{90} 290 种染色；
五边形对五边形转： 6 × 4 = 24 6\times 4=24 6×4=24 种置换， 2 90 / 5 2^{90/5} 290/5 种染色；
六边形对六边形转： 10 × 2 = 20 10\times 2=20 10×2=20 种置换， 2 90 / 3 2^{90/3} 290/3 种染色；
棱中点对棱中点转： 15 15 15 种置换， 0 0 0 种染色（一定都会变）。

则本质不同的方案数为 ( 2 90 + 24 × 2 18 + 20 × 2 30 ) / ( 1 + 24 + 20 + 15 ) (2^{90}+24\times 2^{18}+20\times 2^{30})/(1+24+20+15) (290+24×218+20×230)/(1+24+20+15)。

5. 例题

P4980【模板】Polya 定理

板子。发现置换只有旋转，考虑枚举旋转的角度，有：
1 n ∑ k = 1 n n gcd ⁡ ( k , n ) \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{\gcd(k,n)} n1k=1∑nngcd(k,n)

枚举 gcd ⁡ \gcd gcd，可以变成
1 n ∑ d ∣ n n d ∑ k = 1 n d [ gcd ⁡ ( k , n d ) = 1 ] \frac{1}{n} \sum_{d\mid n}n^d \sum_{k=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(k,\frac{n}{d})=1] n1d∣n∑ndk=1∑dn[gcd(k,dn)=1]

也就是
1 n ∑ d ∣ n n d φ ( n d ) \frac{1}{n}\sum_{d\mid n}n^d\varphi(\frac{n}{d}) n1d∣n∑ndφ(dn)

暴力计算欧拉函数即可通过。
Code

cpp 复制代码

#define int long long 
const int mod=1e9+7;
int T,n;
il int qpow(int n,int k=mod-2)
{
    int res=1; 
    for(;k;n=n*n%mod,k>>=1) if(k&1) res=res*n%mod;
    return res;
}
il int phi(int x)
{
    int res=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0) res=res/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x>1) res=res/x*(x-1);
    return res;
}
signed main()
{
    T=read();
    while(T--)
    {
        n=read(); 
        int ans=0;
        for(int d=1;d*d<=n;d++) if(n%d==0)
        {
            (ans+=qpow(n,d)*phi(n/d)%mod)%=mod;
            if(d*d!=n) (ans+=qpow(n,n/d)*phi(d)%mod)%=mod;
        }
        ans=ans*qpow(n)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

CF1065E Side Transmutations

首先可以发现翻转是可以抵消的。如果我们操作 b 1 b_1 b1，再操作 b 2 b_2 b2，再操作 b 1 b_1 b1，这相当于只操作了一个 b 2 b_2 b2。也就是说，想要得到最终状态我们只关心每个 b i b_i bi 被操作次数的奇偶性。

考虑 Polya 定理，但是发现不动点看起来不好算。

进一步对 b i b_i bi 进行转化，考虑将字符串分成形如 [ b 1 , b 2 ) , [ b 2 , b 3 ) , ... [b_1,b_2),[b_2,b_3),\dots [b1,b2),[b2,b3),... 的若干段。那么我们统计不动点的时候只关心每一段是否被翻转。

不难看出，字符串每段的翻转状态与 b b b 的操作次数奇偶性序列构成双射。设 l e n i len_i leni 表示第 i i i 段的长度。

那么如果第 i i i 段被翻转了，这一段本身的贡献是 ∣ A ∣ l e n i |A|^{len_i} ∣A∣leni；否则为 ∣ A ∣ 2 l e n i |A|^{2len_i} ∣A∣2leni。而对于中间长度为 n − 2 l e n m n-2len_m n−2lenm 且永远不会被翻转的段，贡献恒为 ∣ A ∣ n − 2 l e n m |A|^{n-2len_m} ∣A∣n−2lenm。

故设 T = { 1 , 2 , ... , n } T=\{1,2,\dots,n\} T={1,2,...,n}，本质不同的方案数为
∣ A ∣ n − 2 l e n m 2 m ∑ S ⊆ T ( [ i ∈ S ] ∣ A ∣ l e n i ) + ( [ i ∉ S ] ∣ A ∣ 2 l e n i ) = ∣ A ∣ n − 2 l e n m 2 m ∏ i = 1 m ( ∣ A ∣ l e n i + ∣ A ∣ 2 l e n i ) \begin{aligned} &\frac{|A|^{n-2len_m}}{2^m}\sum_{S\sube T}([i\in S]|A|^{len_i})+([i\notin S]|A|^{2len_i})\\ =&\frac{|A|^{n-2len_m}}{2^m}\prod_{i=1}^m (|A|^{len_i}+|A|^{2len_i}) \end{aligned} =2m∣A∣n−2lenmS⊆T∑([i∈S]∣A∣leni)+([i∈/S]∣A∣2leni)2m∣A∣n−2lenmi=1∏m(∣A∣leni+∣A∣2leni)

直接计算即可，时间复杂度为 O ( m log ⁡ n ) \mathcal{O}(m\log n) O(mlogn)。
Code

cpp 复制代码

#define int long long
const int N=2e5+5,mod=998244353;
int n,m,A,b[N];
int l[N];
il int qpow(int n,int k=mod-2)
{
    int res=1;
    for(;k;n=n*n%mod,k>>=1) if(k&1) res=res*n%mod;
    return res;
}
signed main()
{
    n=read(),m=read(),A=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) l[i]=b[i]-b[i-1];
    int sum=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) sum=sum*(qpow(A,l[i])+qpow(A,2*l[i]))%mod;
    ans=sum*qpow(A,n-2*b[m])%mod;
    ans=ans*qpow(qpow(2,m))%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

ARC062F Painting Graphs with AtCoDeer

一个比较直观的性质是，一条边无论如何都转不出自己所在的边双连通分量。进一步地，发现实际上一条边转不出自己所在的点双。这似乎有点反直觉，但考虑下图，边无法从一个环移到另一个环：

那么根据这个结论，每个点双之间是独立的。分类讨论：

如果一条边的两个端点不在同一点双里，这条边对答案的贡献是 k k k；
如果点双是一个环，这是 Polya 定理的板子；
否则有结论：如果一个点双有至少两个环，所有边都可以任意交换。

考虑证明上述结论，我们只需证明存在一种方案，在不改变其他边的情况下交换两条边。

使用上图的做法可以交换两环交界处的两条边。对于不在两环交界处的边，可以先转到交界处再如此操作。

故设这个点双有 c n t cnt cnt 条边，对答案的贡献就是 c n t cnt cnt 条边涂 k k k 个颜色，不区分顺序的方案数。经典插板法，为 ( c n t + k − 1 k − 1 ) \binom{cnt+k-1}{k-1} (k−1cnt+k−1)。

对以上三种情况分别计算贡献即可。
Code

cpp 复制代码

#define int long long
const int N=205,mod=1e9+7;
int n,m,k;
vector<int> e[N];
int dfn[N],low[N],tot,num;
vector<int> t[N],q;
void tarjan(int u,int fa)
{
    dfn[u]=low[u]=++tot; q.push_back(u);
    for(auto v:e[u]) if(v^fa)
    {
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u),low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=dfn[u])
            {
                num++;
                while(q.back()!=u) 
                {
                    int x=q.back();
                    t[num].push_back(x),q.pop_back();
                    if(x==v) break;
                }
                t[num].push_back(u);
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
}
int bel[N];
il int qpow(int n,int k=mod-2)
{
    int res=1;
    for(;k;n=n*n%mod,k>>=1) if(k&1) res=res*n%mod;
    return res;
}
il int solve(int m)
{
    int res=0;
    for(int i=1;i<=m;i++) res=(res+qpow(k,__gcd(i,m)))%mod;
    res=res*qpow(m)%mod; return res;
} 
int jc[N],inv[N];
il void init(int mx)
{
    jc[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=mx;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
    inv[mx]=qpow(jc[mx]);
    for(int i=mx-1;i;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
il int C(int n,int m) 
{
    if(m>n) return 0;
    return jc[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;
}
signed main()
{
    n=read(),m=read(),k=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);
    }
    init(m+k);
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i,0);
    for(int i=1;i<=num;i++)
    {
        for(auto x:t[i]) bel[x]=i;
        int cnt=0;
        for(auto u:t[i])
            for(auto v:e[u]) if(bel[v]==i) cnt++;
        cnt>>=1;
        m-=cnt;
        if(cnt>t[i].size()) ans=ans*C(cnt+k-1,k-1)%mod;
        else if(cnt==t[i].size()) ans=ans*solve(cnt)%mod;
        else ans=ans*qpow(k,cnt)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

[HNOI2009] 图的同构计数

我们可以把每条边选与不选看作对一个完全图上的边黑白染色，这与原题意是等价的。

使用 Polya 定理，先枚举一个置换，并把置换写成循环的形式。考虑对在该置换下不变的染色方案进行计数。

根据一条边的两个端点是否在同一个循环内，分类讨论：

如图，若一条边的两个端点属于同一循环，那么它应当与循环内所有长度相等的边同色。

那么一个长度为 l e n len len 的循环，其内部共有 ⌊ l e n 2 ⌋ \lfloor \frac{len}{2}\rfloor ⌊2len⌋ 类等价的边。
否则，若一条边连接了两个不同循环，设它们的长度分别为 l e n i , l e n j len_i,len_j leni,lenj。那么一条边需要做 lcm ( l e n i , l e n j ) \text{lcm}(len_i,len_j) lcm(leni,lenj) 次置换才能回到它原来的位置，即等价类个数为 gcd ⁡ ( l e n i , l e n j ) \gcd(len_i,len_j) gcd(leni,lenj)。

综上，一个 l e n len len 序列对 polya 求和式子的贡献为
S = ∑ i = 1 n ( ⌊ l e n i 2 ⌋ + ∑ j = 1 i − 1 gcd ⁡ ( l e n i , l e n j ) ) S=\sum_{i=1}^n(\lfloor \frac{len_i}{2}\rfloor +\sum_{j=1}^{i-1} \gcd(len_i,len_j)) S=i=1∑n(⌊2leni⌋+j=1∑i−1gcd(leni,lenj))

发现这只与 l e n len len 数组有关而与具体的置换无关，考虑只枚举 l e n len len 数组，并计算有多少种对应的置换。由 2.3.2 可知，设 c i c_i ci 表示 l e n j = i len_j=i lenj=i 的 j j j 的个数，对应的置换数为
n ! ∏ l e n i ∏ ( c i ! ) \frac{n!}{\prod len_i\prod (c_i!)} ∏leni∏(ci!)n!

总答案为
1 n ! ∑ l e n n ! ∏ l e n i ∏ ( c i ! ) 2 S \frac{1}{n!}\sum_{len}\frac{n!}{\prod len_i\prod (c_i!)} 2^S n!1len∑∏leni∏(ci!)n!2S

其中 S S S 见上文。时间复杂度为 n n n 的无序拆分数。
Code

cpp 复制代码

#define int long long
const int N=205,mod=997;
int n,ans,tot,b[N],c[N];
il int qpow(int n,int k=mod-2)
{
    int res=1;
    for(;k;n=n*n%mod,k>>=1) if(k&1) res=res*n%mod;
    return res;
}
il int solve()
{
    int res=0;
    for(int i=1;i<=tot;i++)
    {
        res=(res+(b[i]>>1));
        for(int j=1;j<i;j++) res=(res+__gcd(b[i],b[j]));
    }
    return res;
}
void dfs(int sum)
{
    if(!sum)
    {
        int k=solve();
        int v=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=tot;i++) v=v*b[i]%mod,c[b[i]]++;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=c[i];j++) v=v*j%mod;
        ans=(ans+qpow(2,k)*qpow(v)%mod)%mod;
        return;
    }
    for(int k=b[tot];k<=sum;k++)
    {
        b[++tot]=k,dfs(sum-k);
        tot--;
    }
}
signed main()
{
    n=read();
    b[0]=1; dfs(n);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

P4128 [SHOI2006] 有色图

与上题同理，将 2 2 2 换为 k k k 即可。

Burnside 引理 与 Pólya 定理 学习笔记

1. 群论基础

1.1 群(group) 的定义

1.2 一些概念

1.3 群的性质

2. 置换群

2.1 置换

2.2 置换群

2.3 循环

2.3.1 置换的循环表示

2.3.2 共轭类

2.3.3 对换与奇偶置换

3. Burnside 引理

3.1 等价类与 k k k 不动置换类

3.2 轨道稳定子定理

3.3 Burnside 引理

4. Pólya 定理

5. 例题

P4980【模板】Polya 定理

CF1065E Side Transmutations

ARC062F Painting Graphs with AtCoDeer

[HNOI2009] 图的同构计数

P4128 [SHOI2006] 有色图

Burnside 引理与 Pólya 定理学习笔记