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Kruskal算法 时间复杂性Python实现)
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系列专栏：贪心算法
问题描述
- 设 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E)是无向连通带权图， E E E中每条边 ( v , w ) (v , w) (v,w)的权为 c [ v ] [ w ] c[v][w] c[v][w]
- 如果 G G G的一个子图 G ′ G^{'} G′是一棵包含 G G G的所有顶点的树，则称 G ′ G^{'} G′为 G G G的生成树
- 生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费，在 G G G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为 G G G的最小生成树
最小生成树的性质
- 设 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E)是连通带权图， U U U是 V V V的真子集，如果 ( u , v ) ∈ E (u , v) \in E (u,v)∈E，且 u ∈ U u \in U u∈U， v ∈ V − U v \in V - U v∈V−U，且在所有这样的边中， ( u , v ) (u , v) (u,v)的权 c [ u ] [ v ] c[u][v] c[u][v]最小，那么一定存在 G G G的一棵最小生成树，它以 ( u , v ) (u , v) (u,v)为其中一条边
- 这个性质有时也称为 M S T MST MST性质
证明
- 假设 G G G的任何一棵最小生成树都不包含边 ( u , v ) (u , v) (u,v)，将边 ( u , v ) (u , v) (u,v)添加到 G G G的一棵最小生成树 T T T上，将产生含有边 ( u , v ) (u , v) (u,v)的圈，并且在这个圈上有一条不同于 ( u , v ) (u , v) (u,v)的边 ( u ′ , v ′ ) (u^{'} , v^{'}) (u′,v′)，使得 u ′ ∈ U u^{'} \in U u′∈U， v ′ ∈ V − U v^{'} \in V - U v′∈V−U，如下图所示
- 将边 ( u ′ , v ′ ) (u^{'} , v^{'}) (u′,v′)删去，得到 G G G的另一棵生成树 T ′ T^{'} T′，由于 c [ u ] [ v ] ≤ c [ u ′ ] [ v ′ ] c[u][v] \leq c[u^{'}][v^{'}] c[u][v]≤c[u′][v′]，所以 T ′ T^{'} T′的耗费 ≤ T \leq T ≤T的耗费，于是 T ′ T^{'} T′是一棵含有边 ( u , v ) (u , v) (u,v)的最小生成树，与假设矛盾
Kruskal算法
- 给定无向连通带权图 G = ( V , E ) G = (V , E) G=(V,E)， V = { 1 , 2 , ⋯ , n } V = \set{1 , 2 , \cdots , n} V={1,2,⋯,n}
- 首先将 G G G的 n n n个顶点看成 n n n个孤立的连通分支，将所有的边按权从小到大排序，然后从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每条边，并按下述方法连接两个不同的连通分支
- 当查看到第 k k k条边 ( v , w ) (v , w) (v,w)时，如果端点 v v v和 w w w分别是当前两个不同的连通分支 T 1 T_{1} T1和 T 2 T_{2} T2中的顶点时，就用边 ( v , w ) (v , w) (v,w)将 T 1 T_{1} T1和 T 2 T_{2} T2连接成一个连通分支，然后继续查看第 k + 1 k + 1 k+1条边，如果端点 v v v和 w w w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第 k + 1 k + 1 k+1条边
- 这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止，此时这个连通分支就是 G G G的一棵最小生成树
时间复杂性
- 当图的边数为 e e e时，
Kruskal算法所需的时间是 O ( e log e ) O(e \log{e}) O(eloge) - 当 e = Ω ( n 2 ) e = \Omega(n^{2}) e=Ω(n2)是，
Kruskal算法比Prim算法差，当 e = o ( n 2 ) e = o(n^{2}) e=o(n2)时，Kruskal算法比Prim算法好得多
Python实现
python
class Graph:
def __init__(self, vertices):
self.V = vertices # 图中顶点的数量
self.graph = [] # 存储图的边的列表
def addEdge(self, u, v, w):
self.graph.append([u, v, w]) # 添加边到图的边列表
def find(self, parent, i):
if parent[i] == i: # 如果顶点 i 的根节点是自身, 则返回 i
return i
return self.find(parent, parent[i]) # 递归查找 i 的根节点
def union(self, parent, rank, x, y):
root_x = self.find(parent, x) # 查找顶点 x 的根节点
root_y = self.find(parent, y) # 查找顶点 y 的根节点
if rank[root_x] < rank[root_y]: # 如果 x 的根节点的秩小于 y 的根节点的秩
parent[root_x] = root_y # 将 x 的根节点连接到 y 的根节点
elif rank[root_x] > rank[root_y]: # 如果 x 的根节点的秩大于 y 的根节点的秩
parent[root_y] = root_x # 将 y 的根节点连接到 x 的根节点
else: # 如果 x 和 y 的根节点的秩相同
parent[root_y] = root_x # 将 y 的根节点连接到 x 的根节点
rank[root_x] += 1 # 增加 x 的根节点的秩
def kruskalMST(self):
result = [] # 存储最小生成树的边的列表
i = 0 # 当前处理的边的索引
e = 0 # 已经加入最小生成树的边的数量
self.graph = sorted(self.graph, key=lambda x: x[2]) # 按照边的权重对图的边进行排序
parent = [] # 存储顶点的父节点
rank = [] # 存储顶点的秩
for node in range(self.V):
parent.append(node) # 每个顶点的初始父节点是自身
rank.append(0) # 每个顶点的初始秩是 0
while e < self.V - 1: # 当最小生成树的边的数量小于 V - 1 时, 继续循环
u, v, w = self.graph[i] # 获取当前处理的边的源顶点、目标顶点和权重
i += 1 # 增加边的索引
x = self.find(parent, u) # 查找 u 的根节点
y = self.find(parent, v) # 查找 v 的根节点
if x != y: # 如果 u 和 v 不在同一个连通分量中(不会形成环路)
e += 1 # 增加已加入最小生成树的边的数量
result.append([u, v, w]) # 将该边加入最小生成树的结果中
self.union(parent, rank, x, y) # 合并 u 和 v 所在的连通分量
print('边\t\t权')
for u, v, weight in result:
print(f'{u} - {v}\t{weight}') # 打印最小生成树的边和权重
g = Graph(5)
g.addEdge(0, 1, 2)
g.addEdge(0, 3, 6)
g.addEdge(1, 3, 8)
g.addEdge(1, 2, 3)
g.addEdge(1, 4, 5)
g.addEdge(2, 4, 7)
g.addEdge(3, 4, 9)
g.kruskalMST()
shell
边 权
0 - 1 2
1 - 2 3
1 - 4 5
0 - 3 6