【五级编程题1】
【试题名称】：小杨的幸运数
【 问题描述】
小杨认为，所有大于等于a 的完全平方数都是他的超级幸运数。
小杨还认为，所有超级幸运数的倍数都是他的幸运数。自然地，小杨的所有超级幸运数也都是幸运数。
对于一个非幸运数，小杨规定，可以将它一直+1，直到它变成一个幸运数。我们把这个过程叫做幸运化。例如，如果a =4，那么4是最小的幸运数，而1不是，但我们可以连续对1做3次+1操作，使其变为4，所以我们可以说，1幸运化后的结果是4。
现在，小样给出N 个数，请你首先判断它们是不是幸运数；接着，对于非幸运数，请你将它们幸运化。
【 输入描述】
第一行2个正整数a , N。
接下来 行，每行一个正整数 ，表示需要判断（幸运化）的数。
【 输出描述】
输出N 行，对于每个给定的x ，如果它是幸运数，请输出"lucky"，否则请输出将其幸运化后的结果。
【数据规模】
对于30%的测试点，保证a ,x≤100，N ≤100。
对于60%的测试点，保证a ,x≤10⁶。
对于所有测试点，保证a ≤1,000,001；保证N ≤2×10⁵；保证1≤x≤1,000,001。
【 分析】
方法一
如x>=a，判是否是完全平方数或完全平方数的倍数，输出"lukey"。如 int(x⁰·⁵)= x⁰·⁵ 则为完全平方数，在Python中x**0.5//1比int(x**0.5)快3倍左右；x不是完全平方数，则完全平方数的倍数个数不超过x⁰·⁵，如是整数倍数，则求商是否是完全平方数？
对小于a或不是完全平方数或倍数的，则需要加1至大于等于a，直到是完全平方数或完全平方数的倍数，输出该数。
搜索2个完全平方数的次数不超过2001(2001*2001-2000*2000)，找完全平方数倍数不超过x⁰·⁵
时间复杂度：O (n(x⁰·⁵+2001))，约2×10⁵×(1001+2001)≤6.1×10⁸，应该不会超时。
【 完整代码】
python
a, n = [int(i) for i in input().split()] # 输入a和n
def p_square(n): # 判完全平方数或其倍数
if n**0.5 == n**0.5//1:
return True
else:
for i in range(2,int(x**0.5)+1): # 倍数不超过int(x**0.5)
if x // i == x / i and (x//i)**0.5 == (x//i)**0.5//1:
return True
else:
return False
for i in range(n): # 循环输入并处理n个数
x = int(input()) # 输入x
tf = False
if x >= a:
if p_square(x): # 如果是完全平方数或其倍数
print('lucky') # 输出lucky
tf = True
if not tf: # 如果是则需要加1
while True:
x += 1
if x >= a:
if p_square(x): # 直到是完全平方数或其倍数
print(x) # 输出该数
break【 运行结果】
方法二
先建完全平方数和其倍数表(简称lucky表)，将可能的数值范围内的完全平方数和其倍数纳入表中，如直接从表的x位置(索引)中找到的数=x，则输出"lucky"，否则输出该数。
因为题目给出a ≤1,000,001，N ≤2×10⁵，x ≤1,000,001，所以最大的完全平方数不超过1001*1001，故先生成1001*1001+1元素为0的列表，在1~1001的平方大于等于a 的位置填上平方数(lucky数)，并在其倍数位置填上相应倍数值(lucky数)。对于0值用后面与其最接近的lucky数填充。输了直接用x作为索引查询，如x作为索引的值是x，则a是lucky数，输出"lucky"，否则输出x作为索引的值。
时间复杂度：小于O (4x)，主要用于建表，1001×1001+1001×2001+2×10⁵<3.3×10⁶。
【 完整代码】
python
a, n = [int(i) for i in input().split()] # 输入a和n
max_ly = 1001 * 1001 # 最大的lucky数不超过此数，x≤1000001
nr_ly = [0 for i in range(max_ly + 1)] # 生成max_ly+1个元素为0的列表
for i in range(1, int(max_ly**0.5)+1):
if i*i >= a: # 大于等于a的完全平方数元素位置填入此数
nr_ly[i*i] = i*i
for j in range(i*i + i*i, max_ly, i*i): # 其倍数元素位置也填入其倍数
nr_ly[j] = j
for i in range(max_ly, 0, -1): # 两个lucky数之间最近的lucky数是后面的数
if not nr_ly[i]: # 如i是lucky数则有值，否则为0
nr_ly[i] = nr_ly[i + 1] # 0值则填入其后面的数(最接近的lucky数)
for i in range(n): # 输入n个x
x = int(input()) # 输入x
if nr_ly[x] == x: # 如果x是lucky数输出"lucky"
print("lucky")
else:
print(nr_ly[x]) # 否则输出最接近的lucky数(即x+1至lucky数)【 运行结果】
【五级编程题2】
【试题名称】：烹饪问题
【 问题描述】
有N 种食材，编号从0至N -1，其中第i 种食材的美味度为ai 。
不同食材之间的组合可能产生奇妙的化学反应。具体来说，如果两种食材的美味度分别为x 和y ，那么它们的契合度为x and y。
其中，and运算为按位与运算，需要先将两个运算数转换为二进制，然后在高位补足 ，再逐位进行与运算。例如，12与6的二进制表示分别为1100和0110，将它们逐位进行与运算，得到0100，转换为十进制得到4，因此12 and 6 = 4。在 **C++**或 Python中，可以直接使用 **&**运算符表示与运算。
现在，请你找到契合度最高的两种食材，并输出它们的契合度。
【 输入描述】
第一行一个整数N ，表示食材的种数。
接下来一行N 个用空格隔开的整数，依次为a 0,...,aN-1，表示各种食材的美味度。
【输出描述】
输出一行一个整数，表示最高的契合度。
【数据规模】
对40%的测试点保证N ≤1,000。
对所有测试点保证N ≤10⁶，0≤ai≤2,147,483,647(2³¹-1)。
【 分析】
方法一
由于0≤ai≤2,147,483,647，所以(ai & aj )i≠j ≥0，因此结果最大值的初值可定义为0。因为ai & aj = aj & ai，先取第1个与其它N -1个数进行按位与运算，如大于结果就赋给结果(求两数按位与的最大值)，再取第2个与其后N -2个数进行按位与运算，如大于结果就赋给结果(求两数按位与的最大值)，以此类推，直到所有数据都计算并比较大小。此解法时间复杂度为O (N²)，可以解决40%多的数据，当N ≥10⁴就可能超时。
【完整代码】
python
n = int(input()) # 输入n
a = [int(i) for i in input().split()] # 输入n个食材的美味度
ans = 0 # 初值为0
for i in range(n-1): # 0≤i<n-1
for j in range(i+1,n): # i+1≤j<n
if a[i] & a[j] > ans: # a的下标为1~n-1
ans = a[i] & a[j] # ans为两种食材的美味度的最大值
print(ans) # 输出结果【 运行结果】
方法二
因为ai ≤2,147,483,647(2³¹-1)，最多31位二进制，从最高位开始枚举，时间复杂度O (31N)，可以解决所有数据，不超时。
【完整代码】
python
n = int(input()) # 输入n
a = [int(i) for i in input().split()] # 输入n个食材的美味度
ans = 0
for i in range(30,-1,-1): # 从最高位开始枚举
ans += 2**i # 加上当前二进制位为1
cnt = 0 # 统计数量
for j in range(n): # 遍历所有数
if (ans & a[j] == ans):
cnt += 1
if cnt < 2: # 两个以下
ans -= 2**i # 这一位为0(原加1，现减去1)
print(ans) # 输出结果【 运行结果】