算法学习系列（十五）：最小堆、堆排序

引言

这个堆排序的话，考的还挺多的，主要是构建最小堆，并且在很多情况下某些东西还用得着它来优化，比如说迪杰斯特拉算法可以用最小堆优化，然后面试和考研用的也是挺多的，总之开始吧。

一、最小堆概念

本文只讲述最小堆，其一这个用的最多，而且跟最大堆来说其实都是差不多的，就一个小于一个大于

最小堆：首先是一个完全二叉树，然后每个结点都小于或等于其两个儿子，性质：根结点是整个堆的最小值。因为父亲是最小的，然后儿子又作为其儿子的父亲，也是其最小的，所以推出堆根是最小的。

存储方式 ：是用数组来存的，i 号下标的儿子为 2 * i，2 * i + 1 ，i 号下标的父亲为 i / 2

STL：优先级队列就是最小堆

二、堆排序模板（最小堆）

整体思路：先构建一个最小堆，然后输出堆根，再把堆根删了，再次构建，重复往返

删除堆根：用 h[size] 覆盖 h[1] ,size-- ，down(1)

这个模板我们用例题来说明

复制代码

输入一个长度为 n 的整数数列，从小到大输出前 m 小的数。

输入格式
第一行包含整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 m 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，1≤数列中元素≤109

输入样例：
5 3
4 5 1 3 2

输出样例：
1 2 3

c 复制代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+10;

int h[N];  //h[i]代表第堆中的i号下标对应的值
int n, m, cnt;  //cnt代表堆中的数量

//元素变小了，就up
void up(int u)
{
    while(u / 2 && h[u / 2] > h[u])  //若u>=1 并且比父亲大就交换，然后u变成父亲继续判断
    {
        swap(h[u], h[u/2]);
        u >>= 1;
    }
}

//元素变大了，就down
void down(int u)  //将下标为u的元素下移
{
    int t = u;
    if(u * 2 <= cnt && h[2 * u] < h[t]) t = 2 * u;  
    if(u * 2 + 1 <= cnt && h[2 * u + 1] < h[t]) t = 2 * u + 1;  //判断最小的值t
    
    if(t != u)  //若有一个儿子比自己小
    {
        swap(h[u], h[t]);  //交换值
        down(t);  //再次判断这个儿子
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;
    
    for(int i = cnt / 2; i; --i) down(i);  //从倒数第二层的元素开始down到根，可以构建一个最小堆
    
    while(m--)
    {
        printf("%d ", h[1]);  //每次都是堆根的元素最小
        swap(h[1], h[cnt]);
        cnt--;
        down(1);
    }
    
    return 0;
}

三、模拟堆

我们还是用例题来说明

然后这个有一个要求就是要对第k个插入的元素进行操作，但是我们又不知道第k个元素是谁，只知道下标，所以得维护两个数组ph[i] ，hp[i]，代表ph[k] == i，hp[i] == k，h[i] == a