力扣：509. 斐波那契数（动态规划，附带递归版本） 详细讲解动态规划的思路

题目：

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：n = 2

输出：1

解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：n = 3

输出：2

解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：n = 4

输出：3

解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示：

0 <= n <= 30

思路：

本题很简单，但很适合用来做动态规划（和递归）的入门题 ，本篇文章主要讲解一下动态规划的思路。

动态规划

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1. 确定dp数组以及下标的含义

dpi的定义为：第i个数的斐波那契数值是dpi

2. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dpi = dpi - 1 + dpi - 2;

3. dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

4. 确定遍历顺序

从递归公式dpi = dpi - 1 + dpi - 2;中可以看出，dpi是依赖 dpi - 1 和 dpi - 2，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dpi = dpi - 1 + dpi - 2，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上就是动态规划五部曲 这在之后将贯穿所有动态规划类的题目

完整代码和复杂度分析：

动态规划版本1（定义dp数组）：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
       
        # 排除 Corner Case
        if n == 0:
            return 0
        
        # 创建 dp table 
        dp = [0] * (n + 1)

        # 初始化 dp 数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2, n + 1):

            # 确定递归公式/状态转移公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        
        # 返回答案
        return dp[n]

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

动态规划版本2（不自定义dp数组，仅使用3个变量来维护dp数组）：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return n
        
        dp = [0, 1]
        
        for i in range(2, n + 1):
            total = dp[0] + dp[1]
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = total
        
        return dp[1]

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

递归版本：

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)

• 时间复杂度：O(2^n)
• 空间复杂度：O(n）