力扣:509. 斐波那契数(动态规划,附带递归版本) 详细讲解动态规划的思路

题目:

斐波那契数 (通常用 F(n) 表示)形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始,后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是:

F(0) = 0,F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2),其中 n > 1

给定 n ,请计算 F(n) 。

示例 1:

输入:n = 2

输出:1

解释:F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2:

输入:n = 3

输出:2

解释:F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3:

输入:n = 4

输出:3

解释:F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示:

0 <= n <= 30

思路:

本题很简单,但很适合用来做动态规划(和递归)的入门题 ,本篇文章主要讲解一下动态规划的思路

动态规划

动规五部曲:

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为:第i个数的斐波那契数值是dp[i]

  1. 确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢?

因为题目已经把递推公式直接给我们了:状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

  1. dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了,如下:

python 复制代码
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
  1. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2],那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

  1. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],我们来推导一下,当N为10的时候,dp数组应该是如下的数列:

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来,发现结果不对,就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上就是动态规划五部曲 这在之后将贯穿所有动态规划类的题目

完整代码和复杂度分析:

动态规划版本1(定义dp数组):

python 复制代码
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
       
        # 排除 Corner Case
        if n == 0:
            return 0
        
        # 创建 dp table 
        dp = [0] * (n + 1)

        # 初始化 dp 数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2, n + 1):

            # 确定递归公式/状态转移公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        
        # 返回答案
        return dp[n]
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

动态规划版本2(不自定义dp数组,仅使用3个变量来维护dp数组):

python 复制代码
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n <= 1:
            return n
        
        dp = [0, 1]
        
        for i in range(2, n + 1):
            total = dp[0] + dp[1]
            dp[0] = dp[1]
            dp[1] = total
        
        return dp[1]
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

递归版本:

python 复制代码
class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return n
        return self.fib(n - 1) + self.fib(n - 2)
  • 时间复杂度:O(2^n)
  • 空间复杂度:O(n)
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