【数值分析】LU分解解Ax=b，matlab自己编程实现

你哥同学2024-01-02 10:03

LU分解（直接三角分解，Doolittle分解）

A x = b , A = L U Ax=b \,\,,\,\, A=LU Ax=b,A=LU
{ L y = b U x = y \begin{cases} Ly=b \\ Ux=y \end{cases} {Ly=bUx=y

矩阵 L {L} L 的对角元素为 1 {1} 1 ，矩阵 U {U} U 的第一行和 A {A} A 相同。

步骤：

矩阵 L 的对角元素为 1 ，矩阵 U 的第一行和 A 相同。 2. 迭代 , j = 1 , 2 , ⋯ n − 1 算 L 的第 j 列 , L i , j = A i , j − ∑ r = 1 j − 1 L i , r U r , j U j , j , i = j + 1 , j + 2 , ⋯ , n 算 U 的第 j + 1 行 , U j + 1 , k = A j + 1 , k − ∑ r = 1 j L j + 1 , r U r , k L j + 1 , j + 1 , k = j + 1 , j + 2 , ⋯ , n 3. 回代 , y i = b i − ∑ j = 1 i − 1 L i , j y j , i = 1 , 2 , ⋯ , n x i = y i − ∑ j = i + 1 n x j ⋅ U i , j U i , i , i = n , n − 1 , ⋯ , 1 \begin{align*} 1.& 矩阵 L 的对角元素为 1 ，矩阵U 的第一行和A相同。 \\ \\ 2. & 迭代 \,\,,\,\, j=1,2, \cdots n-1 \\ \\ &算L的第j列 \,\,,\,\, L_{i,j}= \frac{A_{i,j}- \sum_{r=1}^{j-1}L_{i,r}U_{r,j}}{U_{j,j}},i=j+1,j+2,\cdots ,n \\ \\ &算U的第j+1行 \,\,,\,\, U_{j+1,k}= \frac{A_{j+1,k}- \sum_{r=1}^{ j}L_{j+1,r}U_{r,k}}{L_{j+1,j+1}} ,k=j+1,j+2,\cdots ,n \\ \\ 3.& 回代 \,\,,\,\, \\ \\ & y_i= b_i- \sum_{j=1}^{ i-1}L_{i,j}y_j,i=1,2,\cdots ,n \\ \\ &x_i= \frac{y_i- \sum_{j=i+1}^{ n}x_j \cdot U_{i,j}}{U_{i,i}} \,\,,\,\, i=n,n-1, \cdots ,1 \end{align*} 1.2.3.矩阵L的对角元素为1，矩阵U的第一行和A相同。迭代,j=1,2,⋯n−1算L的第j列,Li,j=Uj,jAi,j−∑r=1j−1Li,rUr,j,i=j+1,j+2,⋯,n算U的第j+1行,Uj+1,k=Lj+1,j+1Aj+1,k−∑r=1jLj+1,rUr,k,k=j+1,j+2,⋯,n回代,yi=bi−j=1∑i−1Li,jyj,i=1,2,⋯,nxi=Ui,iyi−∑j=i+1nxj⋅Ui,j,i=n,n−1,⋯,1

matlab实现

matlab 复制代码

%% Ax=b例子
A = [16 -12 2 4;
    12 -8 6 10;
    3 -13 9 23;
    -6 14 1 -28];
b = [17 36 -49 -54]';
[x,L,U] = LUsolve(A,b)

%% LU分解解Ax=b
% 输入方阵A,向量b
% 输出解x,L、U矩阵
function [x,L,U] = LUsolve(A,b)
    n = size(A);
    L = eye(n);
    U(1,[1:n]) = A(1,[1:end]);
    for j = 1:n-1 % 对U是行号，对L是列号
        for i = j+1:n % 算L第i行j列
            L(i,j) = A(i,j);
            for r = 1:j-1
                L(i,j) = L(i,j)- L(i,r)*U(r,j);
            end
            L(i,j) = L(i,j)/U(j,j);
        end
        for k = j+1:n % 算U第j+1行k列
            U(j+1,k) = A(j+1,k);
            for r = 1:j
                U(j+1,k) = U(j+1,k)-L(j+1,r)*U(r,k);
            end
            U(j+1,k) = U(j+1,k)/L(j+1,j+1);
        end
    end
    % 回代
    for i = 1:n
        y(i) = b(i);
        for j = 1:i-1
            y(i) = y(i)-L(i,j)*y(j);
        end
    end
    for i=n:-1:1 
        x(i) = y(i);
        for j=n:-1:i+1
            x(i) = x(i)-U(i,j)*x(j);
        end
        x(i) = x(i)/U(i,i);
    end
    x = x';
end