1、设置问题
图片分类：只根据尺寸把它分类为 纵向图像和横向图像。
如果只用一条线将图中白色的点和黑色的点分开：
这次分类的目的就是找到这条线。
2、内积
找到一条线，这是否意味着我们要像学习回归时那样，求出一次函数的斜率和截距？
这个又不一样， 这次的目的是找出向量。
刚才画的那条线，是使权重向量成为法线向量的直线。
设权重 向量为 w，那么那条直线的表达式就是这样的：
实向量空间的内积是各相应元素乘积的和：
比如我们设权重向量为 w = (1, 1)：
内积表达式表示的是这样的直线：
权重向量 w 和这条直线是垂直的， 这就是"使权重向量成为法线向量的直线"在图形上的解释。
用向量之间的夹角 θ 和 cos 计算内积的表达式：
这是内积的另一个表达式。用这个表达式也没有问题。
表达式中 的 |w| 和 |x| 是向量的长，因此必定是正数。
所以要想使内积为 0，只能使 cos θ = 0。
要想使 cos θ = 0，也就意味着 θ = 90◦ 或 θ = 270◦ ，这两种情况也是直角。
最终找到与上面画的直线成直角的权重向量就行了：
当然，一开始并不存在这条直线，而是要通过训练找到权重向量，然后才能得到与这个向量垂直的直线，最后根据这条直线就可以对数据进行分类了。
3、感知机
具体要如何求出权重向量？
基本做法和回归时相同：将权重向量用作参数，创建更新表达式来 更新参数。接下来，要说明的就是被称为感知机（perceptron） 的模型。
感知机是接受多个输入后将每个值与 各自的权重相乘，最后输出总和的模型：
感知机是非常简单的模型，基本不会应用在实际的问题中， 但它是神经网络和深度学习的基础模型。
训练数据的准备
设表示宽的轴为 x1、表示高的轴为 x2，用 y 来 表示图像是横向还是纵向的，横向的值为 1、纵向的值为 −1。
判别函数：
这是根据内积的符号（正或负）来给出不同返回值的函数。
如： 与权重向量 w 的内积为负的向量 x 是 什么样的向量？
|w| 和 |x| 必定为正数，所以决定 内积符号的是 cos θ：
在 90◦ <θ< 270◦ 的时候 cos θ 为负。
所以与权重向量 w 之间的夹角为 θ，在 90◦ <θ< 270◦ 范围内的所有向量都符合条件：
同样使内积为正的向量：
这样就 可以根据内积的正负来分割。
内积是衡量向量之间相似程度的指标。结果为正，说明二者相似； 为 0 则二者垂直；为负则说明二者不相似。
权重向量的更新表达式
这样定义权重向量的更新表达式：
更新表达式只有在判别函数分类失败的时候才会更新参数值。
如下图： 现在权重向量 w 和训练数据的向量 x(1) 二者的方向几乎相 反，w 和 x(1) 之间的夹角 θ 的范围是 90◦ <θ< 270◦ ，内积为负， 判别函数 fw(x(1)) 的分类结果为 −1，实际 y(1) 为 1。
说明分类失败，需要更新权重：
刚才x(1) 与权重向量分居直线两侧，现在它们在同 一侧。
刚才处理的是标签值 y = 1 的情况，而对于 y = −1 的情况，只是 更新表达式的向量加法变成了减法而已，做的事情是一样的。
虽然有加法和减法的区别，但它们的做法都是在分类失败时更新权重向量，使得直线旋转相应的角度。
4、线性可分
感知机非常简单又容易理解，但相应地，缺点也有很多。
最大的缺点就是它只能解决线性可分的问题。
之前提到的感知机也被称为简单感知机或单层感知机，真的是很弱的模型。不过，既然有单层感知机，那么就会有多层感知机。实际上多层感知机就是神经网络了。
5、逻辑回归
逻辑回归与感知机的方法不一样。
逻辑回归与感知机的不同之处在于，它是把分类作为概率来考虑的。
这里设横向的值为 1、纵向的值为 0。这个也和感知机的时候不一样了，纵向不是 −1 了。
只要是两个不同的值，用什么都可以。在学习感知机时之所以设置值为 1 和 −1，是因为这样会使参数更新表达式看起来更简洁， 而现在则是设置为 1 和 0 会更简洁。
sigmoid 函数
学习回归时定义过这样一个带参数的函数：
我们需要能够将未知数据分类为某个类别的函数 fθ(x)：
这个函数的名字叫 sigmoid 函数，设 θTx 为横轴，fθ(x) 为纵轴：
θTx = 0 时 fθ(x)=0.5，以及 0 < fθ(x) < 1 是 sigmoid 函数的两 个特征。
因为 sigmoid 函数的取值范围是 0 < fθ(x) < 1，所以它可以作为概率来使用。
决策边界
把未知数据 x 是横向图像的概率作为 fθ(x)：
这是在给出 x 数据时 y = 1，即图像为横向的概率。
应该是以 0.5 为阈值，然后根据 fθ(x) 的结果分类横向或纵向：
所以我们可以把上面的表达式改写：
下面像学习感知机时那样，设横轴为图像的宽（x1）、纵轴为图像的高（x2），并且画出图来考虑。
然后像学习回归时那样，先随便确定 θ 再具体地去考虑。
比如当 θ 是这样的向量时，我们来画一下 θTx ⩾ 0 的图像：
这个不等式表示的范围也就是图像被分类为横向的范围了：
为纵向的范围：
也就是说，将 θTx = 0 这条直线作为边界线，就可以把这条线两侧的数据分类为横向和纵向了。
这样用于数据分类的直线称为决策边界。
实际应用时这个决策边界似乎不能正确地分类图像，这是因为我们决定参数时太随意了：
为了求得正确的参数 θ 而定义目标函数，进行微分，然后求参数的更新表达式。
这种算法就称为逻辑回归。
6、 似然函数
训练数据的标签 y 和 fθ(x)是什么样的关系会比较理想：
● y = 1 的时候，我们希望概率 P(y = 1|x) 是最大的
● y = 0 的时候，我们希望概率 P(y = 0|x) 是最大的
这适用于全部的训练数据。对于一开始列举的那 6 个训练数据，我们期待的最大概率是这样
假定所有的训练数据都是互不影响、独立发生的，这种情况下整体的概率就可以用下面的联合概率来表示（同时发生的概率）：
且联合概率的表达式是可以一般化的，写法如下：
（该联合乘法符号读作"派"）
接下来考虑一下使这个目标函数最大化的参数 θ。
回归的时候处理的是误差，所以要最小化，而现在考虑的是联合概率，我们希望概率尽可能大，所以要最大化。
这里的目标函数 L(θ) 也被称为似然，函数的名字 L 取自似 然的英文单词 Likelihood 的首字母。
它的意思是最近似的。我们可以认为似然函数 L(θ) 中，使其值最大的参数 θ 能够最近似地说明训练数据。
7、对数似然函数
直接对似然函数进行微分有点困难，在此之前要把函数变形。
首先它是联合概率。概率都是 1 以下的数，所以像联合概率这种 概率乘法的值会越来越小。
如果值太小，编程时会出现精度问题。另外还有一个，那就是乘法与加法相比，乘法的计算量要大得多。
解决方法：
只要取似然函数的对数就好了，像这样在等式两边加上 log 即可：
回归的时候是随便乘了个常数（1/2），这次随便取对数也没问题吗？
没问题的，因为 log 是单调递增函数：
单调递增函数是在 x1 < x2 时， f(x1) < f(x2) 的函数 f(x)。
现在考察的似然函数也是在 L(θ1) < L(θ2) 时，有 logL(θ1) < logL(θ2) 成立。
也就是说，使 L(θ) 最大化等价于使 logL(θ) 最大化。
把对数似然函数变形：
每一行的变形分别利用了下面这些特性：
● 第 2 行是 log(ab) = log a + log b
● 第 3 行是 log ab = b log a
● 第 4 行是 P(y(i) = 0|x(i) ) = 1 − P(y(i) = 1|x(i) )
似然函数的微分
总结一下就是逻辑回归将这个对数似然函数用作目标函数：
接下来对各个参数 θj 求微分：
把似然函数也换成这样的复合函数， 然后依次求微分：
log(v) 的微分是 1/v 。
不过对 log(1 − v) 微分时，要像这样通过复合函数来求。还要注意，这样做最后的表达式前面会有个负号：
微分结果是：
接下来是 v 对 θj 的微分：
sigmoid 函数的 微分是这样的：
求解：
v 对 z 微分：
z 对 θj 的微分：
得出：
最后代入各个结果：
接下来要做的就是从这个表达式导出参数更新表达式。
不过现在是以最大化为目标，所以必须按照与最小化时相反的方向移动参数。
也就是说，最小化时要按照与微分结果的符号相反的方向移动，而最大化时要与微分结果的符号同向移动：
为了与回归时的符号保持一致，也可以将表达式调整为下面这样：
注意，η 之前的符号和 ∑中的符号反转了。
8、 线性不可分
最后，我们将逻辑回归应用于线性不可分问题。
我们可以像学习多项式回归时那样，去增加次数， 向训练数据中加入 x1^2 ：
假设 θ 是这样的向量，那么 θTx ⩾ 0 的图形是什么样的？
先代入：
移项后最终得到的表达式是 x2 ⩾ x1^2 ，将这个画成图：
之前的决策边界是直线，现在则是曲线了。
参数 θ 是随便定的，所以数据完全没有被正确地分类。
之后通过随意地增加次数，就可以得到复杂形状的决策边界了。 比如在 x1^2 之外再增加一个 x2^2，就会有圆形的决策边界。
在逻辑回归的参数更新中也可以使用随机梯度下降法。