本笔记来自北航诸兵老师的课程
课程地址：模型预测控制（2022春）lecture 1-1 Unconstrained MPC
接上一篇：【MPC学习笔记】01：MPC简介（Lecture 1_1 Unconstrained MPC）
文章目录
- [1 详细介绍](#1 详细介绍)
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- [1.1 状态方程](#1.1 状态方程)
- [1.2 Cost Function](#1.2 Cost Function)
- [1.3 状态变量 u ( k ) u(k) u(k) 的求解](#1.3 状态变量 u ( k ) u(k) u(k) 的求解)
- [1.4 举例](#1.4 举例)
1 详细介绍
1.1 状态方程
对 LTI 离散系统：
x ( k + 1 ) = A x ( k ) + B u ( k ) x ∈ R n , u ∈ R p x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)\quad x\in\R^n, u\in R^p x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)x∈Rn,u∈Rp
对传统控制系统，连续系统是好处理的，离散系统是要额外考虑其他因素的
对MPC，则是反过来，离散系统是好处理的，连续系统是要额外考虑其他因素的
假设：
- A , B A,B A,B 可控（Stablizable）
- 状态和控制输入不存在约束（本节讨论无约束MPC）
Define：
x ( i ∣ k ) , u ( i ∣ k ) x(i|k), u(i|k) x(i∣k),u(i∣k): Prediction of i i isteps ahead from time k k k (比如，在时刻 k k k 预测下一时刻的状态，记为 x ( 1 ∣ k ) x(1|k) x(1∣k)，当前时刻的输入，记为 u ( 0 ∣ k ) u(0|k) u(0∣k))
预测：
x ( 1 ∣ k ) = A x ( 0 ∣ k ) + B u ( 0 ∣ k ) x ( 2 ∣ k ) = A x ( 1 ∣ k ) + B u ( 1 ∣ k ) = A [ A x ( 0 ∣ k ) + B u ( 0 ∣ k ) ] + B u ( 1 ∣ k ) = A 2 x ( 0 ∣ k ) + A B u ( 0 ∣ k ) + B u ( 1 ∣ k ) ⋮ ⋮ ⋮ x ( i ∣ k ) = A i x ( 0 ∣ k ) + A i − 1 B u ( 0 ∣ k ) + A i − 2 B 2 u ( 1 ∣ k ) + ⋯ + B u ( i − 1 ∣ k ) \begin{aligned} x(1|k) &= Ax(0|k) + Bu(0|k) \\ x(2|k) &= Ax(1|k) + Bu(1|k)=A[Ax(0|k) + Bu(0|k)] + Bu(1|k) \\ &=A^2x(0|k) + ABu(0|k) + Bu(1|k) \\ \quad&\quad \quad \quad \quad \quad \vdots\quad \quad \quad \vdots\quad \quad \quad \vdots \\ x(i|k) &= A^ix(0|k) + A^{i-1}Bu(0|k) + A^{i-2}B^2u(1|k) + \cdots + Bu(i-1|k) \end{aligned} x(1∣k)x(2∣k)x(i∣k)=Ax(0∣k)+Bu(0∣k)=Ax(1∣k)+Bu(1∣k)=A[Ax(0∣k)+Bu(0∣k)]+Bu(1∣k)=A2x(0∣k)+ABu(0∣k)+Bu(1∣k)⋮⋮⋮=Aix(0∣k)+Ai−1Bu(0∣k)+Ai−2B2u(1∣k)+⋯+Bu(i−1∣k)
In compact form:
X ( k ) = F x ( k ) + Φ U ( k ) X(k) = Fx(k) + \Phi U(k) X(k)=Fx(k)+ΦU(k)
X ( k ) ≜ [ x ( 1 ∣ k ) x ( 2 ∣ k ) ⋮ x ( N ∣ k ) ] U ( k ) ≜ [ u ( 0 ∣ k ) u ( 1 ∣ k ) ⋮ u ( N − 1 ∣ k ) ] X(k)\triangleq \begin{bmatrix} x(1|k)\\ x(2|k)\\ \vdots\\ x(N|k) \end{bmatrix} \quad\quad U(k)\triangleq \begin{bmatrix} u(0|k)\\ u(1|k)\\ \vdots\\ u(N-1|k) \end{bmatrix} X(k)≜ x(1∣k)x(2∣k)⋮x(N∣k) U(k)≜ u(0∣k)u(1∣k)⋮u(N−1∣k)
X ( k ) X(k) X(k) 式中的 x ( k ) x(k) x(k) 也即 x ( 0 ∣ k ) x(0|k) x(0∣k)
≜ \triangleq ≜ : 表示定义为
N N N : Control/Predictive horizon，实际上二者有区别，但这里不做区分
1.2 Cost Function
这里cost function 的控制/预测时域是一个有限的数
J ( k ) = ∑ i = 1 N ∣ ∣ x ( i ∣ k ) ∣ ∣ Q 2 + ∣ ∣ u ( i − 1 ∣ k ) ∣ ∣ R 2 = X T ( k ) Q X ( k ) + U T ( k ) R U ( k ) \begin{aligned} J(k) &= \sum^{N}_{i=1}||x(i|k)||_Q^2 + ||u(i-1|k)||_R^2 \\ &= X^T(k)\mathcal{Q}X(k) + U^T(k)\mathcal{R}U(k) \end{aligned} J(k)=i=1∑N∣∣x(i∣k)∣∣Q2+∣∣u(i−1∣k)∣∣R2=XT(k)QX(k)+UT(k)RU(k)
假设 Q Q Q和 R R R是正定的，是权重
Q = [ Q Q ⋱ Q ] R = [ R R ⋱ R ] \mathcal{Q} = \begin{bmatrix} Q\\ &Q\\ &&\ddots\\ &&&Q \end{bmatrix} \quad\quad \mathcal{R} = \begin{bmatrix} R\\ &R\\ &&\ddots\\ &&&R \end{bmatrix} Q= QQ⋱Q R= RR⋱R
将 X ( k ) = F x ( k ) + Φ U ( k ) X(k) = Fx(k) + \Phi U(k) X(k)=Fx(k)+ΦU(k) 代入 J ( k ) J(k) J(k) 有
J ( k ) = ( F x ( k ) + Φ U ( k ) ) T Q ( F x ( k ) + Φ U ( k ) ) + U T ( k ) R U ( k ) = ( x ( k ) T F T + U ( k ) T Φ T ) ( Q F x ( k ) + Q Φ U ( k ) ) + U T ( k ) R U ( k ) = x ( k ) T F T Q F x ( k ) + U ( k ) T Φ T Q F x ( k ) + x ( k ) T F T Q Φ U ( k ) + U ( k ) T Φ T Q Φ U ( k ) + U T ( k ) R U ( k ) = x ( k ) T F T Q F x ( k ) + 2 x ( k ) T F T Q Φ U ( k ) + U ( k ) T ( Φ T Q Φ + R ) U ( k ) \begin{equation*} \begin{aligned} J(k) &= (Fx(k) + \Phi U(k))^{T} \mathcal{Q} (Fx(k) + \Phi U(k)) + U^T(k)\mathcal{R}U(k) \\ &= (x(k)^TF^T + U(k)^T\Phi^T)(\mathcal{Q}Fx(k) + \mathcal{Q}\Phi U(k))+ U^T(k)\mathcal{R}U(k) \\ &= \textcolor{green}{x(k)^TF^T\mathcal{Q}Fx(k)}+ \textcolor{red}{U(k)^T\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k) + x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi U(k)} + \textcolor{blue}{U(k)^T\Phi^T\mathcal{Q}\Phi U(k)+ U^T(k)\mathcal{R}U(k)} \\ &=\textcolor{green}{x(k)^TF^T\mathcal{Q}Fx(k)}+ \textcolor{red}{2x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi U(k)} +\textcolor{blue}{U(k)^T(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})U(k)} \end{aligned} \end{equation*} J(k)=(Fx(k)+ΦU(k))TQ(Fx(k)+ΦU(k))+UT(k)RU(k)=(x(k)TFT+U(k)TΦT)(QFx(k)+QΦU(k))+UT(k)RU(k)=x(k)TFTQFx(k)+U(k)TΦTQFx(k)+x(k)TFTQΦU(k)+U(k)TΦTQΦU(k)+UT(k)RU(k)=x(k)TFTQFx(k)+2x(k)TFTQΦU(k)+U(k)T(ΦTQΦ+R)U(k)
F x ( k ) Fx(k) Fx(k) 和 Φ U ( k ) \Phi U(k) ΦU(k) 维数相同（是系统状态的维数*N），而 Q \mathcal{Q} Q是一个对角方阵，故 U ( k ) T Φ T Q F x ( k ) = x ( k ) T F T Q Φ U ( k ) = 一个标量 {U(k)^T\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k) = x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi U(k)}=一个标量 U(k)TΦTQFx(k)=x(k)TFTQΦU(k)=一个标量，故红色部分相加相当于其中一个乘2
1.3 状态变量 u ( k ) u(k) u(k) 的求解
Minimize the control function by predictive control series:
（可以不严谨地理解为：让 J J J最小，相当于求 J J J在 J J J对 U U U导数为0 点的值）
∇ U ∣ U = U ∗ = ∂ J ∂ U ∣ U = U ∗ = 0 \nabla_U{|}{U=U^*}=\frac{\partial{J}}{\partial U}{|}{U=U^*}=0 ∇U∣U=U∗=∂U∂J∣U=U∗=0
∂ J ∂ U = 0 + 2 x ( k ) T F T Q Φ + 2 U ( k ) T ( Φ T Q Φ + R ) \frac{\partial{J}}{\partial U}=\textcolor{green}{0} +\textcolor{red}{2x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi}+\textcolor{blue}{2U(k)^T(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})} ∂U∂J=0+2x(k)TFTQΦ+2U(k)T(ΦTQΦ+R)
令 ∂ J ∂ U = 0 \frac{\partial{J}}{\partial U}=0 ∂U∂J=0，可得：
x ( k ) T F T Q Φ + U ( k ) T ( Φ T Q Φ + R ) = 0 ( x ( k ) T F T Q Φ + U ( k ) T ( Φ T Q Φ + R ) ) T = 0 ( x ( k ) T F T Q Φ ) T + ( Φ T Q Φ + R ) T U ( k ) = 0 Φ T Q F x ( k ) + ( Φ T Q Φ + R ) U ( k ) = 0 ( Φ T Q Φ + R ) U ( k ) = − Φ T Q F x ( k ) U ( k ) = − ( Φ T Q Φ + R ) − 1 Φ T Q F x ( k ) \begin{equation*} \begin{aligned} \textcolor{red}{x(k)^T F^T \mathcal{Q} \Phi}+\textcolor{blue}{U(k)^T (\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})}= 0 \\ (\textcolor{red}{x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi}+\textcolor{blue}{U(k)^T(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})})^T=0 \\ \textcolor{red}{(x(k)^TF^T\mathcal{Q}\Phi)^T}+\textcolor{blue}{(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})^TU(k)}=0 \\ \textcolor{red}{\Phi^T \mathcal{Q} Fx(k)} + \textcolor{blue} {(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})U(k)}=0 \\ \textcolor{blue}{(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})U(k)}=-\textcolor{red}{\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k)} \\ \textcolor{blue}{U(k)}=-\textcolor{blue}{(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})^{-1}}\textcolor{red}{\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k)} \end{aligned} \end{equation*} x(k)TFTQΦ+U(k)T(ΦTQΦ+R)=0(x(k)TFTQΦ+U(k)T(ΦTQΦ+R))T=0(x(k)TFTQΦ)T+(ΦTQΦ+R)TU(k)=0ΦTQFx(k)+(ΦTQΦ+R)U(k)=0(ΦTQΦ+R)U(k)=−ΦTQFx(k)U(k)=−(ΦTQΦ+R)−1ΦTQFx(k)
即：
U ( k ) = − ( Φ T Q Φ + R ) − 1 Φ T Q F x ( k ) ( R > 0 , Q ≥ 0 ; o r R ≥ 0 , Q > 0 , a n d Φ i s f u l l y r a n k e d ) \begin{equation*} \begin{aligned} \textcolor{blue}{U(k)}=- \textcolor{blue}{(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})^{-1}} \textcolor{red}{\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k)}\\ (R>0,Q\ge0;or R\ge0,Q\gt0, and\ \Phi\ is\ fully\ ranked) \end{aligned} \end{equation*} U(k)=−(ΦTQΦ+R)−1ΦTQFx(k)(R>0,Q≥0;orR≥0,Q>0,and Φ is fully ranked)
满足括号里的条件， ( Φ T Q Φ + R ) (\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R}) (ΦTQΦ+R)才可逆
u ∗ ( k ) = − [ I p × p 0 ⋯ 0 ] ( Φ T Q Φ + R ) − 1 Φ T Q F x ( k ) = − K m p c x ( k ) \begin{equation*} \begin{aligned} \begin{aligned} \textcolor{blue}{u^*(k)}&=- \begin{bmatrix} I_{p\times p}&0&\cdots 0 \end{bmatrix} \textcolor{blue}{(\Phi^T\mathcal{Q}\Phi+\mathcal{R})^{-1}} \textcolor{red}{\Phi^T\mathcal{Q}Fx(k)} \\ &=-K_{mpc}x(k) \end{aligned} \end{aligned} \end{equation*} u∗(k)=−[Ip×p0⋯0](ΦTQΦ+R)−1ΦTQFx(k)=−Kmpcx(k)
取 u ∗ ( k ) u^*(k) u∗(k) ，则在 U ( k ) U(k) U(k) 前乘一个分块矩阵，对角线上的第一个分块是一个单位阵，维度为控制输入的维度 p p p ,如果不是多输入而是单输入，则 p = 1 p=1 p=1 。
u ∗ ( k ) u^*(k) u∗(k) 最后化简为一个常数矩阵 K m p c K_{mpc} Kmpc （因为 Φ \Phi Φ, Q \mathcal{Q} Q, R \mathcal{R} R, F F F这些全部是已知量）乘上 k k k 时刻的状态变量，从形式上看是状态反馈。
因此，无约束线性MPC实际上是一个线性反馈控制。
1.4 举例
写一段matlab程序，即可求解 F F F， Φ \Phi Φ 和 u ∗ ( k ) u^*(k) u∗(k)。但问题是，求解出来的 u ∗ ( k ) u^*(k) u∗(k)是否能保证系统是稳定的？
对于有稳定性的判定，有李雅普诺夫直接法 和李雅普诺夫间接法 ，见下：
- > 0 和 < 0 >0和<0 >0和<0 分别指的是正定和负定
- 验证稳定性的前提是 K m p c K_{mpc} Kmpc 存在
- 可优化性 并不决定 可稳定性（两种可能的原因见下a和b），所以这里验证稳定性的操作是必要的。
- 优化是在一段时间上进行的，在这段时间内， x x x不一定由大变小，也可能先变小再变大，从而不收敛
- 对于非最小相位系统，系统响应方向可能相反，N取得不够大时，预测不能反映真实运动趋势，那么优化的不是系统真正的性能，导致不稳定的情况发生
本例采用李雅普诺夫间接法在离散时间系统下的判据
当 N N N的取值越来越小，如下面这个例子所示， 特征值超出了单位圆，从而不稳定。
知道如何判断稳定性后，现在的问题变成了：每一次优化后，都要去验证一下系统的稳定性呢？有没有一种机制，保证每一次算出来的 K K K都保证系统的稳定性？