代码随想录第四十三天——目标和，一和零

leetcode 494. 目标和

题目链接：目标和

本题要如何使表达式结果为target：

既然为target，那么就一定有 left组合 - right组合 = target

left + right = sum，而sum是固定的。right = sum - left，所以left - (sum - left) = target 推导出 left = (target + sum)/2 。

此时问题就转化为：装满容量为left的背包，有几种方法

本题是求解装满一个背包有几种方法，属于组合问题，与之前的背包问题不同。

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[j] ：填满j（包括j）这么大容积的包，有dpj种方法
2. 确定递推公式
   以dpj，j 为5为例：
   已经有1（numsi）的话，有 dp4种方法凑成容量5的背包
   已经有2（numsi）的话，有 dp3种方法凑成容量5的背包
   已经有3（numsi）的话，有 dp2中方法凑成容量5的背包
   已经有4（numsi）的话，有 dp1中方法凑成容量5的背包
   已经有5（numsi）的话，有 dp0中方法凑成容量5的背包
   只要有了numsi，凑成dpj就有dpj - nums\[i] 种方法，凑成dp5就是把所有的dpj - nums\[i] 累加起来。所以求组和类的递归公式： dp[j] += dp[j - nums[i]]
3. dp数组初始化
   dp[0]初始化为1
4. 确定遍历顺序
   nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        if (abs(target) > sum) return 0; // 此时没有方案
        if ((target + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
        int bagSize = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

时间复杂度：O(n × m)，n为正数个数，m为背包容量

空间复杂度：O(m)，m为背包容量

leetcode 474. 一和零

题目链接：一和零
本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！
m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包

1. dp数组及下标的含义
   dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dpij。
2. 确定递推公式
   dpij 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
   dpij 就可以是 dpi - zeroNumj - oneNum + 1。然后在遍历的过程中，取dpij的最大值。
   所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
   字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weighti），物品的重量有两个维度。字符串本身的个数相当于物品的价值（valuei）。
3. dp数组初始化
   物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dpij不会被初始值覆盖。
4. 遍历顺序
   外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历。

for (string str : strs) { // 遍历物品
    int oneNum = 0, zeroNum = 0;
    for (char c : str) {
        if (c == '0') zeroNum++;
        else oneNum++;
    }
    for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历
        for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
        }
    }
}

整体代码如下：

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0));
        for (string str : strs) {
            int oneNum = 0, zeroNum = 0;
            for (char c : str) {
                if (c == '0') zeroNum++;
                else oneNum++;
            }
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度

空间复杂度: O(mn）