傅里叶级数
定义形式
f ( t ) = 1 2 α 0 + ∑ n = 1 ∞ [ α n c o s ( n ω t ) + β n s i n ( n ω t ) ] f(t)=\frac{1}{2}\alpha_0 + \sum_{n=1}^{\infty}[\alpha_ncos(n\omega t)+\beta_n sin(n \omega t)] f(t)=21α0+n=1∑∞[αncos(nωt)+βnsin(nωt)]
其中 ω = 2 π T \omega = \frac{2\pi}{T} ω=T2π
求解过程
α n = 2 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) c o s ( n ω t ) d t \alpha_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)cos(n\omega t)dt αn=T2∫−T/2T/2f(t)cos(nωt)dt
β n = 2 T ∫ − T / 2 T / 2 f ( t ) s i n ( n ω t ) d t \beta_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)sin(n\omega t)dt βn=T2∫−T/2T/2f(t)sin(nωt)dt
带入欧拉方程
c o s ( n ω t ) = e j n ω t + e − j n ω t 2 cos(n \omega t)=\frac{e^{j n \omega t}+e^{-j n \omega t}}{2} cos(nωt)=2ejnωt+e−jnωt
s i n ( n ω t ) = e j n ω t − e − j n ω t 2 j sin(n \omega t) = \frac{e^{j n \omega t} - e^{-j n \omega t}}{2j} sin(nωt)=2jejnωt−e−jnωt
上式带入傅里叶级数可得
f ( t ) = α 0 2 + ∑ n = 1 + ∞ ( α n − j β n 2 e j n ω t + α n + j β n 2 e − j n ω t ) f(t)=\frac{\alpha_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}\big(\frac{\alpha_n -j \beta_n}{2}e^{j n \omega t} + \frac{\alpha_n+j\beta_n}{2}e^{-j n \omega t}\big) f(t)=2α0+n=1∑+∞(2αn−jβnejnωt+2αn+jβne−jnωt)
= ∑ − ∞ + ∞ ( α n − j β n 2 ) e j n ω t =\sum_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\alpha_n-j\beta_n}{2})e^{jn\omega t} =−∞∑+∞(2αn−jβn)ejnωt
整理得：
f ( t ) = 1 T ∑ − ∞ + ∞ [ ∫ − T / 2 T / 2 f ( τ ) e − j n ω τ d τ ] e j n ω t f(t)=\frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau]e^{j n \omega t} f(t)=T1−∞∑+∞[∫−T/2T/2f(τ)e−jnωτdτ]ejnωt
非周期连续函数处理
当 f f f为非周期函数时可以假设为无穷大
f ( t ) = lim T → ∞ 1 T ∑ − ∞ + ∞ [ ∫ − T / 2 T / 2 f ( τ ) e − j n ω τ d τ ] e j n ω t f(t)=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-T/2}^{T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau]e^{j n \omega t} f(t)=T→∞limT1−∞∑+∞[∫−T/2T/2f(τ)e−jnωτdτ]ejnωt
= lim T → ∞ 1 T ∑ n = − ∞ + ∞ [ F ( ω n ) e j ω n t ] =\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[F(\omega_n)e^{j\omega_nt}] =T→∞limT1n=−∞∑+∞[F(ωn)ejωnt]
以为 T = 2 π / ω T=2\pi / \omega T=2π/ω则上式可以表示为
lim ω → 0 1 2 π ∑ n = − ∞ + ∞ [ F ( ω n ) e j ω n t ] d ω n \lim {\omega \to 0}\frac{1}{2\pi}\sum{n=-\infty}^{+\infty}[F(\omega_n)e^{j\omega_nt}]d\omega_n ω→0lim2π1n=−∞∑+∞[F(ωn)ejωnt]dωn
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( ω n ) e j ω n t d ω n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega_n)e^{j \omega_n t}d\omega_n =2π1∫−∞+∞F(ωn)ejωntdωn
F ( ω n ) = lim T → ∞ ∫ − T / 2 + T / 2 f ( τ ) e − j n ω τ d τ = ∫ − ∞ + ∞ f ( τ ) e − j ω n τ d τ F(\omega_n)=\lim_{T \to \infty}\int_{- T/2}^{+T/2}f(\tau)e^{-j n \omega \tau}d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-j\omega_n \tau}d\tau F(ωn)=T→∞lim∫−T/2+T/2f(τ)e−jnωτdτ=∫−∞+∞f(τ)e−jωnτdτ
非连续函数的采样
采样函数如下所示
f s ( t ) = ∑ n = 0 N f ( t ) δ ( t − n T s ) f_s(t)=\sum_{n=0}^{N} f(t)\delta(t-nT_s) fs(t)=n=0∑Nf(t)δ(t−nTs)
其中 f s f_s fs为采样函数， T s T_s Ts为采样周期。函数周期为 N T s NT_s NTs
对其进行傅里叶变换有如下所示：
F s ( ω ) = ∫ 0 ( N − 1 ) T s [ ∑ n = 0 N − 1 f ( t ) δ ( t − n T s ) ] e − j ω t d t F_s(\omega)=\int_{0}^{(N-1)T_s}[\sum_{n=0}^{N-1} f(t)\delta(t-nT_s)]e^{-j \omega t}dt Fs(ω)=∫0(N−1)Ts[n=0∑N−1f(t)δ(t−nTs)]e−jωtdt
由上式可知：
F s ( ω ) = ∑ n = 0 N − 1 f ( n T s ) e − j ω n T s F_s(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}f(nT_s)e^{-j\omega nT_s} Fs(ω)=n=0∑N−1f(nTs)e−jωnTs
其逆变换如下：
f s ( t ) = 1 N T s ∑ ω [ ∑ n = 0 N − 1 f ( n T s ) e − j ω n T s ] e j ω t f_s(t)=\frac{1}{NT_s}\sum_\omega[\sum_{n=0}^{N-1}f(nT_s)e^{-j\omega nT_s}]e^{j\omega t} fs(t)=NTs1ω∑[n=0∑N−1f(nTs)e−jωnTs]ejωt